Номер 3.65, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.65. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, в которой каждый из них делится пополам. Докажите, что $AO < \frac{AC + AD}{2}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая делит каждый из них пополам, следовательно $AO = OB$ и $CO = OD$. Кроме того, углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны, так как они являются вертикальными.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно: $AC = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Применим к нему неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон всегда больше длины третьей стороны:

$AD + BD > AB$

В этом неравенстве мы можем сделать две замены на основе известных нам фактов. Во-первых, заменим сторону $BD$ на равную ей сторону $AC$, как было доказано выше. Во-вторых, заменим сторону $AB$ на выражение $2 \cdot AO$, поскольку точка $O$ является серединой отрезка $AB$ и, следовательно, $AB = AO + OB = AO + AO = 2 \cdot AO$.

После подстановки неравенство примет вид:

$AD + AC > 2 \cdot AO$

Чтобы прийти к требуемому в задаче виду, разделим обе части неравенства на 2:

$\frac{AD + AC}{2} > AO$

Это неравенство можно записать и так:

$AO < \frac{AC + AD}{2}$

Ответ: Что и требовалось доказать.