Номер 3.61, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.61. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем из вершины $B$ медиану $BM$ и высоту $BH$ к стороне $AC$.

По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой, содержащей сторону $AC$. Точки $H$ (основание высоты) и $M$ (середина стороны $AC$) лежат на прямой $AC$. Следовательно, треугольник $\triangle BHM$ является прямоугольным, в котором угол $\angle BHM = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике $\triangle BHM$ сторона $BM$ (которая является медианой исходного треугольника $\triangle ABC$) является гипотенузой, так как лежит напротив прямого угла. Сторона $BH$ (которая является высотой $\triangle ABC$) — это катет.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше или равна длине любого из катетов. Таким образом, справедливо неравенство $BM \ge BH$.

Равенство $BM = BH$ достигается только в том случае, когда прямоугольный треугольник $\triangle BHM$ является вырожденным, то есть когда длина второго катета $MH$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ и $M$ совпадают. В этом случае медиана и высота, проведенные из вершины $B$, являются одним и тем же отрезком (что характерно, например, для равнобедренного треугольника с основанием $AC$).

Если же точки $H$ и $M$ не совпадают, то длина отрезка $MH > 0$. Тогда по теореме Пифагора для $\triangle BHM$ имеем: $BM^2 = BH^2 + MH^2$. Поскольку $MH^2 > 0$, то $BM^2 > BH^2$, и, следовательно, $BM > BH$.

Таким образом, в любом случае выполняется условие $BM \ge BH$, что и доказывает, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Утверждение доказано.