Номер 3.56, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.56. Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle C = 108^{\circ}$, $BD = 4,3$ см, $AB < 6$ см. Найдите сторону $AB$, если известно, что ее длина выражена целым числом.

Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, угол $\angle C = 108^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то сумма двух других углов этого треугольника составляет $\angle CBD + \angle BDC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Поскольку оба этих угла должны быть положительными, каждый из них меньше $72^\circ$, а значит, они оба острые. В частности, $\angle BDC < 72^\circ$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle BDA = 180^\circ - \angle BDC$. Используя полученное выше неравенство для $\angle BDC$, мы можем оценить $\angle BDA$:$\angle BDA = 180^\circ - \angle BDC > 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.Таким образом, угол $\angle BDA$ является тупым.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике угол $\angle BDA$ — тупой. Так как в треугольнике может быть только один тупой угол, $\angle BDA$ является наибольшим углом треугольника $ABD$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BDA$, следовательно, $AB$ является наибольшей стороной в треугольнике $ABD$. В частности, $AB > BD$.

По условию задачи, $BD = 4,3$ см. Следовательно, $AB > 4,3$ см. Также из условия известно, что $AB < 6$ см и длина стороны $AB$ выражена целым числом. Объединяя все условия, получаем двойное неравенство для длины стороны $AB$:$4,3 < AB < 6$.

Единственным целым числом, которое удовлетворяет этому неравенству, является 5. Значит, длина стороны $AB$ равна 5 см.

Ответ: 5 см.