Номер 3.57, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. На рисунке 3.20 $AO = BO$, $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $AC = BC$.

Рис. 3.20

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи стороны $AO$ и $BO$ равны, то есть $AO = BO$.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAB = \angle OBA$.

Также по условию задачи $\angle 1 = \angle 2$. Из рисунка видно, что под $\angle 1$ подразумевается угол $\angle CBO$, а под $\angle 2$ — угол $\angle CAO$. Таким образом, $\angle CBO = \angle CAO$.

Теперь рассмотрим углы большого треугольника $ABC$. Угол $\angle CAB$ можно представить как сумму двух углов: $\angle CAB = \angle CAO + \angle OAB$. Аналогично, угол $\angle CBA$ можно представить как сумму углов: $\angle CBA = \angle CBO + \angle OBA$.

Сравним выражения для углов $\angle CAB$ и $\angle CBA$:

$\angle CAB = \angle CAO + \angle OAB$

$\angle CBA = \angle CBO + \angle OBA$

Мы знаем, что $\angle CAO = \angle CBO$ (из условия $\angle 2 = \angle 1$) и $\angle OAB = \angle OBA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $AOB$). Поскольку слагаемые в правых частях равенств попарно равны, то и суммы равны. Следовательно, $\angle CAB = \angle CBA$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Так как в треугольнике $ABC$ углы при стороне $AB$ равны ($\angle CAB = \angle CBA$), то он является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle CBA$, а сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle CAB$. Следовательно, $AC = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AC$ и $BC$ доказано.