Номер 3.51, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.51. Какой вид имеет треугольник, в котором больший угол меньше суммы двух других углов?

Обозначим углы треугольника как $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $ 180^\circ $:

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Пусть $ \gamma $ — наибольший угол в этом треугольнике. По условию задачи, он меньше суммы двух других углов:

$ \gamma < \alpha + \beta $

Мы имеем систему из уравнения и неравенства:

$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \\ \gamma < \alpha + \beta \end{cases} $

Из первого уравнения выразим сумму углов $ \alpha + \beta $:

$ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma $

Подставим это выражение во второе неравенство:

$ \gamma < 180^\circ - \gamma $

Теперь решим это неравенство относительно $ \gamma $:

$ \gamma + \gamma < 180^\circ $

$ 2\gamma < 180^\circ $

$ \gamma < 90^\circ $

Таким образом, мы выяснили, что наибольший угол треугольника ($ \gamma $) должен быть меньше $ 90^\circ $. Поскольку $ \gamma $ является наибольшим углом, то два других угла ($ \alpha $ и $ \beta $) также меньше $ 90^\circ $.

Треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $ 90^\circ $), называется остроугольным.

Для проверки можно рассмотреть другие типы треугольников:

- В прямоугольном треугольнике наибольший угол $ \gamma = 90^\circ $, а сумма двух других $ \alpha + \beta = 90^\circ $. В этом случае $ \gamma = \alpha + \beta $, что не соответствует условию $ \gamma < \alpha + \beta $.

- В тупоугольном треугольнике наибольший угол $ \gamma > 90^\circ $. Из этого следует, что $ 2\gamma > 180^\circ $. Подставив $ 180^\circ = \alpha + \beta + \gamma $, получим $ 2\gamma > \alpha + \beta + \gamma $, что упрощается до $ \gamma > \alpha + \beta $. Это противоречит условию задачи.

Следовательно, единственным видом треугольника, удовлетворяющим условию, является остроугольный.

Ответ: остроугольный.