Номер 3.55, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Точка $D$ лежит на основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Это означает, что боковые стороны равны ($AB = AC$), а также равны углы при основании ($\angle ABC = \angle ACB$). Точка $D$ лежит на основании $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно свойству о соотношении сторон и углов треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Чтобы доказать, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны $AB$, мы сравним в треугольнике $ABD$ углы, лежащие против этих сторон: $\angle ABD$ и $\angle ADB$.

Угол $\angle ADB$ является внешним для треугольника $ADC$. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ADB = \angle DAC + \angle ACD$

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то $\angle ACB = \angle ABC$. Угол $\angle ACD$ является тем же углом, что и $\angle ACB$, а $\angle ABD$ — тем же, что и $\angle ABC$. Следовательно, $\angle ACD = \angle ABD$.

Подставив это равенство в выражение для внешнего угла, получаем: $\angle ADB = \angle DAC + \angle ABD$

Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и, по условию строгого неравенства ("меньше"), не совпадает с точкой $C$, то отрезок $AD$ не совпадает с $AC$. Это означает, что угол $\angle DAC$ имеет положительную величину, то есть $\angle DAC > 0$.

Из этого следует, что угол $\angle ADB$ строго больше угла $\angle ABD$: $\angle ADB = \angle ABD + \angle DAC \implies \angle ADB > \angle ABD$

В треугольнике $ABD$ сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB$, а сторона $AD$ — напротив угла $\angle ABD$. Так как $\angle ADB > \angle ABD$, то и противолежащая сторона $AB$ больше противолежащей стороны $AD$. Следовательно, $AB > AD$, или $AD < AB$.

Таким образом, доказано, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны этого треугольника.

Ответ: Доказательство. В $\triangle ABD$ сравним углы $\angle ABD$ и $\angle ADB$. Угол $\angle ADB$ — внешний для $\triangle ADC$, поэтому $\angle ADB = \angle ACB + \angle DAC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle ACB = \angle ABC$. Тогда $\angle ADB = \angle ABC + \angle DAC$. Поскольку $D$ лежит на основании $BC$ и не совпадает с $C$, то $\angle DAC > 0$, откуда $\angle ADB > \angle ABC$ (или $\angle ADB > \angle ABD$). В $\triangle ABD$ против большего угла лежит большая сторона, значит, $AB > AD$. Что и требовалось доказать.