Номер 3.54, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $70^\circ$. Биссектриса этого угла пересекает сторону $AC$ в точке $D$. $BD = DC$. Докажите, что $AB < AC$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $70°$, а отрезок $BD$ является его биссектрисой. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому:

$∠ABD = ∠DBC = \frac{∠B}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, $BD = DC$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углом при основании, противолежащим стороне $BD$, является угол $C$. Следовательно:

$∠C = ∠DBC$.

Так как мы уже определили, что $∠DBC = 35°$, то и угол $C$ также равен $35°$:

$∠C = 35°$.

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. В нем нам известны два угла: $∠B = 70°$ и $∠C = 35°$. Согласно свойству треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы $B$ и $C$:

$35° < 70°$, следовательно, $∠C < ∠B$.

Сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ лежит напротив угла $C$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $B$. Поскольку $∠C < ∠B$, то и длина стороны, лежащей напротив угла $C$, меньше длины стороны, лежащей напротив угла $B$. Таким образом, $AB < AC$.

Утверждение доказано.

Ответ: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $35°$, а угол $B$ равен $70°$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $∠C < ∠B$, то сторона $AB$, лежащая против угла $C$, меньше стороны $AC$, лежащей против угла $B$.