Номер 3.58, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.58. В треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причем $AD = CE$ и $AE = CD$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $CEA$. Сравним их. По условию задачи $AD = CE$ и $AE = CD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ADC$ (а именно $AD$, $CD$ и $AC$) соответственно равны трем сторонам треугольника $CEA$ ($CE$, $AE$ и $AC$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), отсюда следует, что треугольник $ADC$ равен треугольнику $CEA$. Запишем это как $ \triangle ADC \cong \triangle CEA $.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $ADC$ напротив стороны $CD$ находится угол $\angle DAC$. В треугольнике $CEA$ напротив равной ей стороны $AE$ находится угол $\angle ECA$. Следовательно, эти углы равны: $\angle DAC = \angle ECA$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ – на стороне $BC$, то $\angle DAC$ – это тот же угол, что и $\angle BAC$, а $\angle ECA$ – это тот же угол, что и $\angle BCA$. Таким образом, мы доказали, что в треугольнике $ABC$ равны два угла: $\angle BAC = \angle BCA$.

По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то треугольник является равнобедренным. Боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой, то есть $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным.