Номер 3.63, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Прямая пересекает две боковые стороны $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, а луч $BC$ в точке $F$. Докажите, что $AE > AD$ (рис. 3.22).

Рис. 3.22

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$. Из этого следует, что углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Обозначим величину этих равных углов как $\beta$.

Прямая, проходящая через точки $D$, $E$ и $F$, пересекает прямые, содержащие стороны треугольника. В частности, она пересекает прямую $AB$ в точке $D$, прямую $AC$ в точке $E$ и прямую $BC$ в точке $F$. При этом точка $D$ находится на отрезке $AB$, точка $E$ — на отрезке $AC$, а точка $C$ лежит между точками $B$ и $F$.

Для того чтобы доказать неравенство $AE > AD$ в треугольнике $ADE$, мы воспользуемся свойством углов и сторон треугольника: против большей стороны лежит больший угол. Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $\angle ADE > \angle AED$.

1. Рассмотрим углы, образующиеся при пересечении прямой $DEF$ и прямой $AC$ в точке $E$. Углы $\angle AED$ и $\angle CEF$ являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AED = \angle CEF$. Теперь рассмотрим треугольник $EFC$. Угол $\angle FCE$ является смежным с углом $\angle ACB$, поэтому $\angle FCE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \beta$. Сумма углов в треугольнике $EFC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle CEF + \angle EFC + \angle FCE = 180^\circ$. Подставив значение $\angle FCE$, получим: $\angle CEF + \angle EFC + (180^\circ - \beta) = 180^\circ$. Из этого уравнения выразим $\angle CEF$: $\angle CEF = \beta - \angle EFC$. Следовательно, $\angle AED = \beta - \angle EFC$.

2. Теперь рассмотрим углы при пересечении прямой $DEF$ и прямой $AB$ в точке $D$. Углы $\angle ADE$ и $\angle BDF$ являются вертикальными, поэтому $\angle ADE = \angle BDF$. Рассмотрим треугольник $BDF$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle BDF + \angle DBF + \angle BFD = 180^\circ$. Угол $\angle DBF$ — это угол $\angle ABC$, равный $\beta$. Угол $\angle BFD$ — это тот же угол, что и $\angle EFC$. Подставив известные величины в сумму углов, получим: $\angle BDF + \beta + \angle BFD = 180^\circ$. Отсюда $\angle BDF = 180^\circ - \beta - \angle BFD$. Таким образом, $\angle ADE = 180^\circ - \beta - \angle BFD$.

3. Теперь сравним величины углов $\angle ADE$ и $\angle AED$. Пусть $\gamma = \angle EFC = \angle BFD$.

$\angle AED = \beta - \gamma$

$\angle ADE = 180^\circ - \beta - \gamma$

Проверим, выполняется ли неравенство $\angle ADE > \angle AED$:

$180^\circ - \beta - \gamma > \beta - \gamma$

Прибавив $\gamma$ к обеим частям, получаем:

$180^\circ - \beta > \beta$

Прибавив $\beta$ к обеим частям, получаем:

$180^\circ > 2\beta$

Или $\beta < 90^\circ$.

Угол $\beta$ является углом при основании равнобедренного треугольника. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $\angle A + \angle B + \angle C = \angle A + 2\beta = 180^\circ$. Так как $\angle A$ — это угол треугольника, его величина строго больше нуля ($\angle A > 0$). Следовательно, $2\beta < 180^\circ$, что эквивалентно $\beta < 90^\circ$.

Таким образом, неравенство $\angle ADE > \angle AED$ является истинным.

Поскольку в треугольнике $ADE$ угол $\angle ADE$ больше угла $\angle AED$, то и сторона, лежащая напротив угла $\angle ADE$ (сторона $AE$), больше стороны, лежащей напротив угла $\angle AED$ (сторона $AD$). То есть, $AE > AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AE > AD$ доказано.