Вопросы, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

3. Какая окружность называется описанной около треугольника?

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

6. Что значит «окружности касаются друг друга»?

7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?

8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, равноудаленных от одной заданной точки.

Эта заданная точка называется центром окружности. Обычно ее обозначают буквой $O$.

Радиус — это расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называют любой отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Длина радиуса обычно обозначается буквой $r$ или $R$. Все радиусы одной окружности равны между собой.

Ответ: Окружность — множество точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Радиус — это это расстояние, а также отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности. Его длина, обозначаемая буквой $d$, равна двум радиусам: $d = 2r$.

Ответ: Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.

3. Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. В этом случае говорят также, что треугольник вписан в окружность. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Ответ: Описанной около треугольника называется окружность, которая проходит через все три его вершины.

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть дана окружность, описанная около треугольника $\triangle ABC$. Обозначим центр этой окружности точкой $O$.

По определению описанной окружности, все вершины треугольника лежат на ней. Следовательно, расстояния от центра $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу $R$ этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим отрезок $AB$. Поскольку $OA = OB$, точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Значит, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

Аналогично, из равенства $OB = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

Из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, точка $O$ принадлежит всем трем серединным перпендикулярам к сторонам треугольника $\triangle ABC$, а значит, является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника, а множество точек, равноудаленных от двух данных точек (вершин), является серединным перпендикуляром к отрезку (стороне), их соединяющему. Следовательно, центр лежит на пересечении всех трех серединных перпендикуляров.

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.

Важное свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

6. Что значит «окружности касаются друг друга»?

Говорят, что две окружности касаются друг друга, если они имеют ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей.

Точка касания двух окружностей всегда лежит на прямой, соединяющей их центры.

Ответ: Это означает, что две окружности имеют только одну общую точку.

7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?

Касание двух окружностей бывает двух видов:

1. Внешнее касание — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от их общей точки касания. В этом случае расстояние $d$ между центрами окружностей равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

2. Внутреннее касание — это касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от их общей точки касания (одна окружность находится внутри другой). В этом случае расстояние $d$ между центрами окружностей равно модулю разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$.

Ответ: При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания, при внутреннем — по одну сторону.

8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех сторон этого треугольника. В этом случае говорят, что треугольник описан около окружности. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Ответ: Вписанной в треугольник называется окружность, которая касается всех трех его сторон.

9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Пусть дана окружность, вписанная в треугольник $\triangle ABC$. Обозначим ее центр точкой $I$.

По определению вписанной окружности, она касается всех трех сторон треугольника. Это означает, что расстояния от центра $I$ до каждой из сторон равны радиусу $r$ этой окружности. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Пусть $r_a$, $r_b$, $r_c$ — расстояния от точки $I$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда $r_a = r_b = r_c = r$.

Рассмотрим угол $\angle A$, образованный сторонами $AB$ и $AC$. Точка $I$ равноудалена от сторон этого угла, так как $r_c = r_b = r$. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$.

Аналогично, из равенства $r_c = r_a$ следует, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$.

Из равенства $r_b = r_a$ следует, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle C$.

Таким образом, точка $I$ принадлежит всем трем биссектрисам углов треугольника, а значит, является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника, а множество точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, центр лежит на пересечении всех трех биссектрис.