Номер 4.7, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.7. Сколько различных касательных можно провести к окружности через данную точку, лежащую:

1) вне окружности;

2) на окружности;

3) внутри окружности?

Рассмотрим взаимное расположение точки и окружности в трех случаях, чтобы определить количество возможных касательных.

1) вне окружности

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит вне окружности, что означает, что расстояние от центра окружности до этой точки больше радиуса: $OA > R$.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Важное свойство касательной заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть $T$ — это точка касания на окружности. Тогда прямая $AT$ является касательной, и треугольник $\triangle OAT$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $T$ ($\angle OTA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OA$, а катетами — радиус $OT=R$ и отрезок касательной $AT$.

Геометрически, точки касания $T_1$ и $T_2$ можно найти как точки пересечения исходной окружности с другой окружностью, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре. Так как $OA > R$, эти две окружности пересекутся ровно в двух точках. Прямые, проходящие через точку $A$ и эти две точки касания ($AT_1$ и $AT_2$), и будут искомыми касательными. Таким образом, из точки, лежащей вне окружности, можно провести две различные касательные.

Ответ: 2.

2) на окружности

Пусть точка $A$ лежит на окружности. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу: $OA = R$.

Через любую точку, лежащую на окружности, можно провести касательную, и притом только одну. Эта касательная является прямой, проходящей через данную точку $A$ и перпендикулярной радиусу $OA$, проведенному в эту точку.

Докажем это. Рассмотрим прямую $l$, проходящую через $A$ и перпендикулярную $OA$. Для любой другой точки $B$ на прямой $l$, отличной от $A$, в прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $OB$ является гипотенузой. Следовательно, $OB > OA$, а значит $OB > R$. Это означает, что все остальные точки прямой $l$ лежат вне окружности. Таким образом, прямая $l$ имеет с окружностью только одну общую точку $A$ и по определению является касательной. Любая другая прямая, проходящая через $A$, будет пересекать окружность в двух точках (являться секущей).

Ответ: 1.

3) внутри окружности

Пусть точка $A$ лежит внутри окружности. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ меньше радиуса: $OA < R$.

Любая прямая, проходящая через точку, расположенную внутри окружности, неизбежно пересечет окружность в двух точках, то есть будет являться секущей.

Чтобы прямая была касательной, расстояние от центра окружности $O$ до этой прямой должно быть равно радиусу $R$. Однако для любой прямой, проходящей через внутреннюю точку $A$, расстояние от центра $O$ до этой прямой будет меньше или равно длине отрезка $OA$. Так как по условию $OA < R$, то и расстояние от центра до любой такой прямой будет строго меньше радиуса. Следовательно, такая прямая не может быть касательной.

Ответ: 0.