Страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.6. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны $25 \text{ см}$ и $50 \text{ см}$, а расстояние между центрами равно $60 \text{ см}$?

Для того чтобы две окружности касались, расстояние между их центрами должно удовлетворять одному из двух условий: быть равным сумме их радиусов (для внешнего касания) или быть равным разности их радиусов (для внутреннего касания).

Дано: радиус первой окружности $r_1 = 25$ см, радиус второй окружности $r_2 = 50$ см, расстояние между центрами $d = 60$ см.

Рассмотрим оба возможных случая касания.

1. Внешнее касание

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$d = r_1 + r_2$

Вычислим сумму радиусов:

$r_1 + r_2 = 25 \text{ см} + 50 \text{ см} = 75 \text{ см}$

Сравним это значение с заданным расстоянием между центрами: $75 \text{ см} \neq 60 \text{ см}$.

Следовательно, окружности не могут касаться внешним образом.

2. Внутреннее касание

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов (большего и меньшего):

$d = r_2 - r_1$

Вычислим разность радиусов:

$r_2 - r_1 = 50 \text{ см} - 25 \text{ см} = 25 \text{ см}$

Сравним это значение с заданным расстоянием между центрами: $25 \text{ см} \neq 60 \text{ см}$.

Следовательно, окружности не могут касаться и внутренним образом.

Поскольку ни одно из условий касания не выполняется, данные окружности не касаются. Более того, так как расстояние между центрами ($60$ см) больше разности радиусов ($25$ см) и меньше суммы радиусов ($75$ см), то есть выполняется неравенство $r_2 - r_1 < d < r_1 + r_2$, эти окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: Нет, не могут.

4.7. Сколько различных касательных можно провести к окружности через данную точку, лежащую:

1) вне окружности;

2) на окружности;

3) внутри окружности?

Рассмотрим взаимное расположение точки и окружности в трех случаях, чтобы определить количество возможных касательных.

1) вне окружности

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит вне окружности, что означает, что расстояние от центра окружности до этой точки больше радиуса: $OA > R$.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Важное свойство касательной заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть $T$ — это точка касания на окружности. Тогда прямая $AT$ является касательной, и треугольник $\triangle OAT$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $T$ ($\angle OTA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OA$, а катетами — радиус $OT=R$ и отрезок касательной $AT$.

Геометрически, точки касания $T_1$ и $T_2$ можно найти как точки пересечения исходной окружности с другой окружностью, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре. Так как $OA > R$, эти две окружности пересекутся ровно в двух точках. Прямые, проходящие через точку $A$ и эти две точки касания ($AT_1$ и $AT_2$), и будут искомыми касательными. Таким образом, из точки, лежащей вне окружности, можно провести две различные касательные.

Ответ: 2.

2) на окружности

Пусть точка $A$ лежит на окружности. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу: $OA = R$.

Через любую точку, лежащую на окружности, можно провести касательную, и притом только одну. Эта касательная является прямой, проходящей через данную точку $A$ и перпендикулярной радиусу $OA$, проведенному в эту точку.

Докажем это. Рассмотрим прямую $l$, проходящую через $A$ и перпендикулярную $OA$. Для любой другой точки $B$ на прямой $l$, отличной от $A$, в прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $OB$ является гипотенузой. Следовательно, $OB > OA$, а значит $OB > R$. Это означает, что все остальные точки прямой $l$ лежат вне окружности. Таким образом, прямая $l$ имеет с окружностью только одну общую точку $A$ и по определению является касательной. Любая другая прямая, проходящая через $A$, будет пересекать окружность в двух точках (являться секущей).

Ответ: 1.

3) внутри окружности

Пусть точка $A$ лежит внутри окружности. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ меньше радиуса: $OA < R$.

Любая прямая, проходящая через точку, расположенную внутри окружности, неизбежно пересечет окружность в двух точках, то есть будет являться секущей.

Чтобы прямая была касательной, расстояние от центра окружности $O$ до этой прямой должно быть равно радиусу $R$. Однако для любой прямой, проходящей через внутреннюю точку $A$, расстояние от центра $O$ до этой прямой будет меньше или равно длине отрезка $OA$. Так как по условию $OA < R$, то и расстояние от центра до любой такой прямой будет строго меньше радиуса. Следовательно, такая прямая не может быть касательной.

Ответ: 0.

4.8. Может ли окружность касаться прямой в двух точках?

Нет, окружность не может касаться прямой в двух точках. Разберем почему, используя метод доказательства от противного.

По определению, касание окружности и прямой — это случай, когда они имеют ровно одну общую точку, называемую точкой касания. Если прямая и окружность имеют две общие точки, то такая прямая называется секущей.

Доказательство:

Предположим, что окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ всё-таки касается некоторой прямой $l$ в двух различных точках $A$ и $B$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности, расстояния от центра $O$ до этих точек равны радиусу: $OA = OB = r$.

Из свойства касательной известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, если бы касание происходило в точках $A$ и $B$, то радиусы $OA$ и $OB$ были бы перпендикулярны прямой $l$. То есть, мы имели бы $OA \perp l$ и $OB \perp l$.

Таким образом, из одной точки $O$, не лежащей на прямой $l$, к этой прямой были бы проведены два различных перпендикуляра ($OA$ и $OB$, так как $A$ и $B$ — разные точки).

Однако, согласно основной аксиоме евклидовой геометрии, из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, окружность не может касаться прямой в двух различных точках.

Ответ: Нет, не может.

4.9. Как расположены две окружности $\omega(O_1; r_1)$ и $\omega(O_2; r_2)$, у которых:

1) $r_1 = 6$ см, $r_2 = 15$ см, $O_1O_2 = 21$ см;

2) $r_1 = 12$ см, $r_2 = 14$ см, $O_1O_2 = 8$ см;

3) $r_1 = 6$ см, $r_2 = 5$ см, $O_1O_2 = 18$ см?

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами $d = O_1O_2$ с суммой $r_1 + r_2$ и разностью $|r_1 - r_2|$ их радиусов.

• Если $d > r_1 + r_2$, окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек.
• Если $d = r_1 + r_2$, окружности касаются внешним образом (одна общая точка).
• Если $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, окружности пересекаются в двух точках.
• Если $d = |r_1 - r_2|$, окружности касаются внутренним образом (одна общая точка).
• Если $d < |r_1 - r_2|$, одна окружность лежит внутри другой и они не имеют общих точек.

1) Дано: $r_1 = 6$ см, $r_2 = 15$ см, $O_1O_2 = 21$ см.

Найдем сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 6 + 15 = 21$ см.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |6 - 15| = 9$ см.

Сравним расстояние между центрами $d = O_1O_2$ с полученными значениями. Видим, что расстояние между центрами равно сумме радиусов: $d = r_1 + r_2$ ($21 = 21$). Следовательно, окружности касаются внешним образом.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

2) Дано: $r_1 = 12$ см, $r_2 = 14$ см, $O_1O_2 = 8$ см.

Найдем сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 12 + 14 = 26$ см.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |12 - 14| = 2$ см.

Сравним расстояние между центрами $d = O_1O_2$ с полученными значениями. В данном случае выполняется неравенство $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, так как $2 < 8 < 26$. Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках.

3) Дано: $r_1 = 6$ см, $r_2 = 5$ см, $O_1O_2 = 18$ см.

Найдем сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 6 + 5 = 11$ см.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |6 - 5| = 1$ см.

Сравним расстояние между центрами $d = O_1O_2$ с полученными значениями. В данном случае расстояние между центрами больше суммы радиусов: $d > r_1 + r_2$, так как $18 > 11$. Следовательно, окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек.

Ответ: окружности не пересекаются и лежат одна вне другой.

4.10. Как расположена прямая относительно окружности, если диаметр окружности равен 16 см, а расстояние от центра до прямой равно:

1) 7 см;

2) 8 см;

3) 9 см?

Для определения взаимного расположения прямой и окружности необходимо сравнить радиус окружности $r$ и расстояние от центра окружности до прямой $d$.

По условию задачи, диаметр окружности $D$ равен 16 см. Радиус окружности равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Возможны три случая взаимного расположения:

• Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая пересекает окружность в двух точках (является секущей).
• Если расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая имеет с окружностью одну общую точку (является касательной).
• Если расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая не имеет с окружностью общих точек.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

1) 7 см

Расстояние от центра до прямой $d = 7$ см. Радиус окружности $r = 8$ см.

Так как $7 \text{ см} < 8 \text{ см}$, то есть $d < r$, прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: прямая пересекает окружность.

2) 8 см

Расстояние от центра до прямой $d = 8$ см. Радиус окружности $r = 8$ см.

Так как $8 \text{ см} = 8 \text{ см}$, то есть $d = r$, прямая касается окружности в одной точке.

Ответ: прямая касается окружности.

3) 9 см

Расстояние от центра до прямой $d = 9$ см. Радиус окружности $r = 8$ см.

Так как $9 \text{ см} > 8 \text{ см}$, то есть $d > r$, прямая не имеет общих точек с окружностью.

Ответ: прямая не пересекает окружность.

4.11. Точки А, В и С делят окружность на три равные дуги $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BC}$ и $\overset{\frown}{CA}$. Чему равна градусная мера этих дуг?

Градусная мера полной окружности составляет $360^{\circ}$.

По условию задачи, точки А, В и С делят окружность на три равные дуги: $\smile AB$, $\smile BC$ и $\smile CA$. Это означает, что градусные меры этих дуг равны между собой. Обозначим градусную меру каждой дуги как $x$.

Сумма градусных мер этих трех дуг равна градусной мере всей окружности: $$ \smile AB + \smile BC + \smile CA = 360^{\circ} $$ Так как дуги равны, мы можем записать это уравнение как: $$ x + x + x = 360^{\circ} $$ $$ 3x = 360^{\circ} $$

Чтобы найти значение $x$, то есть градусную меру одной дуги, разделим $360^{\circ}$ на 3: $$ x = \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ} $$ Следовательно, каждая из трех равных дуг имеет градусную меру $120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.

4.12. Через точку $A$, не лежащую на окружности, к этой окружности проведите касательные $AB$ и $AC$. Точки $B$ и $C$ – точки касания. Докажите, что $AB = AC$.

Для доказательства равенства отрезков касательных $AB$ и $AC$ рассмотрим треугольники, образованные этими отрезками, центром окружности и точками касания.

1. Пусть $O$ — центр окружности. Проведем отрезки $OA$, $OB$ и $OC$. В результате мы получим два треугольника: $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$.

2. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OB$ перпендикулярен касательной $AB$, а отрезок $OC$ перпендикулярен касательной $AC$. Это означает, что углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми, то есть $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ являются прямоугольными.

3. Рассмотрим эти прямоугольные треугольники.

- Сторона $OA$ является общей для обоих треугольников (общая гипотенуза).

- Стороны $OB$ и $OC$ равны между собой, так как обе являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = r$).

4. Так как прямоугольные треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ имеют общую гипотенузу и равные катеты, они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

5. Из равенства треугольников ($\triangle OAB \cong \triangle OAC$) следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AB$ треугольника $\triangle OAB$ соответствует катету $AC$ треугольника $\triangle OAC$. Следовательно, $AB = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков касательных $AB$ и $AC$, проведенных из одной точки $A$ к окружности, доказано.

4.13. Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Выберем на окружности произвольную точку $A$.

Из точки $A$ проведем диаметр $AB$. По определению, диаметр проходит через центр окружности $O$, поэтому точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Длина радиуса $AO$ равна $R$.

Из той же точки $A$ проведем хорду $AC$. По условию задачи, длина этой хорды равна радиусу окружности, то есть $AC = R$. Точка $C$ также лежит на окружности.

Требуется найти угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$, то есть угол $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Его стороны:

• $AO$ — радиус окружности, $AO = R$.
• $OC$ — также радиус окружности, так как соединяет центр $O$ с точкой $C$ на окружности, $OC = R$.
• $AC$ — хорда, длина которой по условию равна радиусу, $AC = R$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle AOC$ равны ($AO = OC = AC = R$), он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle OAC = 60^\circ$.

Так как точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой (диаметре $AB$), то искомый угол $\angle BAC$ совпадает с углом $\angle OAC$.

Таким образом, угол между диаметром и хордой, равной радиусу, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

4.14. Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на этой окружности, из которой проведены две хорды, $AB$ и $AC$. По условию задачи, длины этих хорд равны радиусу окружности: $AB = R$ и $AC = R$. Требуется найти угол между этими хордами, то есть $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны:

• $OA = R$ (радиус окружности)
• $OB = R$ (радиус окружности)
• $AB = R$ (по условию задачи)

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle OAB$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle OAB = 60^\circ$ и $\angle AOB = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Его стороны:

• $OA = R$ (радиус окружности)
• $OC = R$ (радиус окружности)
• $AC = R$ (по условию задачи)

Этот треугольник также является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle OAC = 60^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$.

Из точки $A$ на окружности можно провести ровно две различные хорды длиной $R$. Их концы (точки $B$ и $C$) будут находиться по разные стороны от диаметра, проходящего через точку $A$. Это означает, что линия $OA$ является осью симметрии для фигуры, образованной точками $A, B, O, C$, и проходит между лучами $AB$ и $AC$.

Таким образом, угол между хордами $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle OAB$ и $\angle OAC$.

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Альтернативное решение с использованием теоремы о вписанном угле:

Как мы установили, центральные углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ равны $60^\circ$. Так как хорды $AB$ и $AC$ расположены по разные стороны от радиуса $OA$, центральный угол $\angle BOC$, стягивающий хорду $BC$, равен сумме углов $\angle AOB$ и $\angle AOC$:

$\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Этот угол является центральным углом, опирающимся на малую дугу $BC$. Вписанный угол $\angle BAC$ опирается на большую дугу $BC$. Величина большой дуги $BC$ равна $360^\circ - \angle BOC = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

По теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $120^\circ$.

4.15. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 4 см, а расстояние между их центрами равно 5 см. Имеют ли эти окружности общие точки?

Для того чтобы определить, имеют ли две окружности общие точки, необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой и модулем разности их радиусов ($r_1$ и $r_2$).

По условию задачи даны:

• Радиус первой окружности: $r_1 = 3$ см.
• Радиус второй окружности: $r_2 = 4$ см.
• Расстояние между центрами: $d = 5$ см.

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы. Это условие выражается двойным неравенством: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

Выполним проверку этого условия для заданных значений.Сначала найдем сумму и модуль разности радиусов:

• Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$ см.
• Модуль разности радиусов: $|r_1 - r_2| = |3 - 4| = |-1| = 1$ см.

Теперь подставим полученные значения и расстояние между центрами в неравенство:$1 \text{ см} < 5 \text{ см} < 7 \text{ см}$.

Данное неравенство является верным, следовательно, условие пересечения окружностей выполняется. Это означает, что окружности имеют две общие точки.

Интересным фактом является то, что для данных длин выполняется теорема Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это значит, что треугольник, образованный центрами окружностей и одной из точек их пересечения, является прямоугольным. Этот факт также подтверждает, что окружности пересекаются.

Ответ: да, эти окружности имеют две общие точки.

4.16. Окружности с центрами $O$ и $O_1$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что:

1) $\Delta OAO_1 = \Delta OBO_1$;

2) $\Delta OAB$ и $\Delta O_1 AB$ – равнобедренные (рис. 4.13).

Рис. 4.13

1) $\Delta OAO_1 = \Delta OBO_1$

Рассмотрим треугольники $\Delta OAO_1$ и $\Delta OBO_1$.

1. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности. Следовательно, $OA = OB$.

2. Стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами окружности с центром в точке $O_1$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат и на этой окружности. Следовательно, $O_1A = O_1B$.

3. Сторона $OO_1$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\Delta OAO_1$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\Delta OBO_1$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\Delta OAO_1 = \Delta OBO_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $\Delta OAB$ и $\Delta O_1AB$ – равнобедренные

Рассмотрим треугольник $\Delta OAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ равны, так как являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$. Согласно определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\Delta OAB$ — равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник $\Delta O_1AB$. Его стороны $O_1A$ и $O_1B$ равны, так как являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O_1$. Следовательно, $\Delta O_1AB$ — также является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4.17. Окружности с центрами $O$ и $O_1$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Каждая из этих окружностей проходит через центр другой. Найдите углы $AOB$ и $OAO_1$.

Пусть радиус окружности с центром в точке $O$ равен $R$, а радиус окружности с центром в точке $O_1$ равен $R_1$.

По условию, окружность с центром $O$ проходит через центр $O_1$. Это означает, что расстояние между центрами $OO_1$ равно радиусу первой окружности: $OO_1 = R$.

Также по условию, окружность с центром $O_1$ проходит через центр $O$. Это означает, что расстояние между центрами $OO_1$ равно радиусу второй окружности: $OO_1 = R_1$.

Следовательно, радиусы окружностей равны между собой и равны расстоянию между их центрами: $R = R_1 = OO_1$. Обозначим эту величину как $r$.

Точка $A$ лежит на обеих окружностях. Так как $A$ лежит на окружности с центром $O$, то отрезок $OA$ является радиусом этой окружности, то есть $OA = r$. Так как $A$ лежит на окружности с центром $O_1$, то отрезок $O_1A$ является радиусом второй окружности, то есть $O_1A = r$. Аналогично для точки $B$: $OB = r$ и $O_1B = r$.

Найдите угол AOB

Рассмотрим треугольник $\triangle AOO_1$. Мы установили, что все его стороны равны $r$: $OA = O_1A = OO_1 = r$. Следовательно, треугольник $\triangle AOO_1$ является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, поэтому $\angle AOO_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BOO_1$. Аналогично, все его стороны равны $r$: $OB = O_1B = OO_1 = r$. Следовательно, треугольник $\triangle BOO_1$ также является равносторонним. Поэтому $\angle BOO_1 = 60^\circ$.

Угол $\angle AOB$ состоит из двух углов: $\angle AOO_1$ и $\angle BOO_1$. Таким образом, $\angle AOB = \angle AOO_1 + \angle BOO_1 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

Найдите угол OAO₁

Как мы уже выяснили при нахождении первого угла, треугольник $\triangle AOO_1$ является равносторонним, так как все его стороны равны: $OA = O_1A = OO_1 = r$.

Угол $\angle OAO_1$ является одним из внутренних углов этого равностороннего треугольника. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$