Страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

Для доказательства данного утверждения необходимо вспомнить определения центров вписанной и описанной окружностей, а также ключевые свойства равностороннего треугольника.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Эта точка равноудалена от всех его сторон.

Центр описанной окружности (центр описанной окружности) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от всех его вершин.

Рассмотрим равносторонний треугольник $\triangle ABC$. В таком треугольнике все стороны равны между собой, и все углы равны $60^\circ$.

В равностороннем треугольнике каждая биссектриса, проведенная из какой-либо вершины, является одновременно и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром к противолежащей стороне.

Докажем это. Пусть $AM$ — биссектриса угла $\angle A$. Тогда треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ равны по двум сторонам и углу между ними:

• $AB = AC$ (по определению равностороннего треугольника).
• $AM$ — общая сторона.
• $\angle BAM = \angle CAM$ (так как $AM$ — биссектриса).

Из равенства треугольников следует, что $BM = CM$ и $\angle AMB = \angle AMC$.

1. Равенство $BM = CM$ означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, биссектриса $AM$ является также медианой.

2. Углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Так как они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $AM \perp BC$. Следовательно, биссектриса $AM$ является также высотой.

3. Так как $AM$ проходит через середину стороны $BC$ (точка $M$) и перпендикулярна ей, то прямая, содержащая $AM$, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Таким образом, в равностороннем треугольнике биссектрисы углов и серединные перпендикуляры к сторонам лежат на одних и тех же прямых.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров. Поскольку в равностороннем треугольнике эти множества линий совпадают, то и точка их пересечения является одной и той же. Следовательно, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектрисы углов также являются и медианами, и высотами, и серединными перпендикулярами к сторонам. Центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров. Так как в равностороннем треугольнике эти линии совпадают, то и их точка пересечения (центры окружностей) совпадает.

4.19. Окружности с радиусами 80 см и 60 см касаются друг друга. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний.

Для решения задачи обозначим радиусы окружностей как $R$ и $r$. Согласно условию, радиус большей окружности $R = 80$ см, а радиус меньшей окружности $r = 60$ см. Рассмотрим два возможных случая касания окружностей.

Случай внешнего касания

При внешнем касании окружностей их центры и точка касания лежат на одной прямой линии. Расстояние между центрами в этом случае равно сумме их радиусов. Обозначим это расстояние как $d_1$.

Формула для вычисления расстояния: $d_1 = R + r$.

Подставляем значения радиусов в формулу: $d_1 = 80 \text{ см} + 60 \text{ см} = 140 \text{ см}$.

Ответ: расстояние между центрами при внешнем касании равно 140 см.

Случай внутреннего касания

При внутреннем касании одна окружность (с меньшим радиусом) находится внутри другой (с большим радиусом). Их центры и точка касания также лежат на одной прямой. Расстояние между центрами в этом случае равно разности радиусов большей и меньшей окружностей. Обозначим это расстояние как $d_2$.

Формула для вычисления расстояния: $d_2 = R - r$.

Подставляем значения радиусов в формулу: $d_2 = 80 \text{ см} - 60 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: расстояние между центрами при внутреннем касании равно 20 см.

4.20. Каждая из трех окружностей проходит через центры двух других. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

Обозначим центры трех окружностей как $O_1$, $O_2$ и $O_3$, а их радиусы — как $R_1$, $R_2$ и $R_3$ соответственно. Точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ являются вершинами треугольника.

Рассмотрим первую окружность с центром в $O_1$ и радиусом $R_1$. По условию, она проходит через центры двух других окружностей, то есть через точки $O_2$ и $O_3$. По определению окружности, расстояние от ее центра до любой точки на ней равно радиусу. Следовательно, расстояние от центра $O_1$ до точки $O_2$ и до точки $O_3$ равно радиусу $R_1$. Это можно записать как: $|O_1O_2| = R_1$ и $|O_1O_3| = R_1$.

Рассмотрим вторую окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R_2$. Она проходит через центры $O_1$ и $O_3$. Аналогично предыдущему пункту, получаем, что $|O_2O_1| = R_2$ и $|O_2O_3| = R_2$.

Рассмотрим третью окружность с центром в $O_3$ и радиусом $R_3$. Она проходит через центры $O_1$ и $O_2$. Следовательно, $|O_3O_1| = R_3$ и $|O_3O_2| = R_3$.

Теперь сопоставим полученные равенства. Из того, что $|O_1O_2| = R_1$ и $|O_2O_1| = R_2$, а также учитывая, что $|O_1O_2|$ и $|O_2O_1|$ представляют собой одно и то же расстояние, мы заключаем, что $R_1 = R_2$. Аналогично, из $|O_1O_3| = R_1$ и $|O_3O_1| = R_3$ следует, что $R_1 = R_3$.

Таким образом, радиусы всех трех окружностей равны между собой: $R_1 = R_2 = R_3$. Обозначим эту общую величину радиуса как $R$.

Длины сторон треугольника $\triangle O_1O_2O_3$ равны расстояниям между его вершинами (центрами окружностей). Мы установили, что:

$|O_1O_2| = R_1 = R$

$|O_2O_3| = R_2 = R$

$|O_3O_1| = R_3 = R$

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle O_1O_2O_3$ равны между собой ($|O_1O_2| = |O_2O_3| = |O_3O_1| = R$), по определению он является равносторонним.

Ответ: Центры окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.

4.21. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, то есть $AB = CD$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH$ — это расстояние от центра до хорды $AB$, а $OK$ — расстояние от центра до хорды $CD$. Нам нужно доказать, что $OH = OK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$. Так как $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ — радиусы окружности, то $OA = OB = OC = OD$. Следовательно, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$ являются равнобедренными.

Поскольку $OH$ является высотой в равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$, проведенной к основанию, то $OH$ также является и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина хорды $AB$, и $AH = HB = \frac{1}{2}AB$.

Аналогично, $OK$ является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике $\triangle OCD$. Следовательно, точка $K$ — середина хорды $CD$, и $CK = KD = \frac{1}{2}CD$.

По условию $AB = CD$, значит, и их половины равны: $AH = CK$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ (они прямоугольные по построению, так как $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$).

В этих треугольниках:

1. $OA = OC$ как радиусы одной окружности (это гипотенузы).

2. $AH = CK$ как половины равных хорд (это катеты).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их катеты: $OH = OK$.

Таким образом, мы доказали, что расстояния от центра окружности до равных хорд равны, то есть равные хорды равноудалены от центра.

Ответ: Утверждение доказано.

4.22. Докажите, что если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности.

Расстоянием от центра окружности до хорды является длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведем перпендикуляры $OH$ из центра $O$ к хорде $AB$ и $OK$ из центра $O$ к хорде $CD$. По условию задачи, хорды равноудалены от центра, это означает, что длины этих перпендикуляров равны: $OH = OK$.

Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$. Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами данной окружности, поэтому они равны между собой: $OA = OC = R$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$.

По построению $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$, следовательно, треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ являются прямоугольными. В этих треугольниках:

1. Гипотенузы равны: $OA = OC$ (как радиусы одной окружности).

2. Катеты равны: $OH = OK$ (по условию задачи).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В нашем случае, катет $AH$ треугольника $\triangle OHA$ равен катету $CK$ треугольника $\triangle OKC$: $AH = CK$.

Согласно свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Таким образом, точка $H$ является серединой хорды $AB$, а точка $K$ — серединой хорды $CD$. Это можно записать как:

$AB = 2 \cdot AH$

$CD = 2 \cdot CK$

Поскольку мы ранее доказали, что $AH = CK$, то и их удвоенные значения равны: $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$.

Из этого следует, что $AB = CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

4.23. Как построить к окружности касательную:

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно данной прямой?

1) параллельно данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и прямая $l$. Задача состоит в том, чтобы построить касательную $t$ к окружности, такую что $t \parallel l$.

Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если искомая касательная $t$ параллельна прямой $l$, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть перпендикулярен как прямой $l$, так и касательной $t$. На этом свойстве и основано построение.

Алгоритм построения:

1. Из центра окружности $O$ проводим прямую $n$, перпендикулярную данной прямой $l$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив перпендикуляр из точки к прямой.
2. Прямая $n$ пересечет окружность в двух точках. Назовем их $A$ и $B$. Эти точки и будут точками касания.
3. Через точку $A$ проводим прямую $t_1$, перпендикулярную радиусу $OA$ (то есть прямой $n$).
4. Через точку $B$ проводим прямую $t_2$, перпендикулярную радиусу $OB$ (то есть прямой $n$).

По построению прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности в точках $A$ и $B$ соответственно. Так как обе эти прямые перпендикулярны одной и той же прямой $n$, а прямая $n$ в свою очередь перпендикулярна $l$, то $t_1 \parallel l$ и $t_2 \parallel l$. Таким образом, задача, как правило, имеет два решения.

Ответ: Необходимо провести из центра окружности прямую, перпендикулярную данной прямой. Точки пересечения этой прямой с окружностью будут точками касания. Через эти точки следует провести прямые, параллельные данной прямой (что эквивалентно проведению прямых, перпендикулярных построенному диаметру).

2) перпендикулярно данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и прямая $m$. Задача состоит в том, чтобы построить касательную $t$ к окружности, такую что $t \perp m$.

Касательная $t$ в точке касания $K$ перпендикулярна радиусу $OK$. Если мы хотим, чтобы касательная $t$ была перпендикулярна прямой $m$, то радиус $OK$ должен быть параллелен прямой $m$.

Алгоритм построения:

1. Из центра окружности $O$ проводим прямую $p$, параллельную данной прямой $m$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки.
2. Прямая $p$ пересечет окружность в двух точках. Назовем их $C$ и $D$.
3. Через точку $C$ проводим прямую $t_1$, перпендикулярную радиусу $OC$ (то есть прямой $p$).
4. Через точку $D$ проводим прямую $t_2$, перпендикулярную радиусу $OD$ (то есть прямой $p$).

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными к окружности в точках $C$ и $D$. Поскольку они перпендикулярны прямой $p$, а прямая $p$ по построению параллельна прямой $m$, то $t_1 \perp m$ и $t_2 \perp m$. Задача также имеет два решения.

Ответ: Необходимо провести из центра окружности прямую, параллельную данной прямой. Точки пересечения этой прямой с окружностью будут точками касания. Через эти точки следует провести прямые, перпендикулярные данной прямой (что эквивалентно проведению прямых, перпендикулярных построенному диаметру).

4.24. Какие углы образует хорда $AB$, равная радиусу окружности, с касательной в точке $A$?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем хорду $AB$. По условию задачи, длина хорды $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Получим отрезки $OA$ и $OB$, которые являются радиусами окружности, следовательно, $OA = R$ и $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Все его стороны равны между собой: $OA = OB = AB = R$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^{\circ}$. Следовательно, угол $\angle OAB = 60^{\circ}$.

Теперь проведем касательную к окружности в точке $A$. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной в точке $A$, и угол между ними составляет $90^{\circ}$.

Хорда $AB$ и касательная в точке $A$ образуют два угла. Один из этих углов (острый) можно найти как разность между прямым углом, образованным радиусом $OA$ и касательной, и углом $\angle OAB$:

Угол 1 $= 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Второй угол, который хорда $AB$ образует с касательной, является смежным по отношению к прямой, которую представляет касательная. Его величина равна:

Угол 2 $= 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

Таким образом, хорда $AB$ образует с касательной в точке $A$ углы $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.

4.25. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ и $B$ — две точки на окружности, такие что длина хорды $AB$ равна радиусу, то есть $AB = R$. В точках $A$ и $B$ к окружности проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. Требуется найти углы, под которыми пересекаются эти касательные.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. По условию, хорда $AB$ также равна радиусу: $AB = R$. Таким образом, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, так как все его стороны равны ($OA = OB = AB = R$).

2. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

3. Теперь рассмотрим четырехугольник $OACB$, образованный центром окружности $O$, точками касания $A$ и $B$, и точкой пересечения касательных $C$.

4. Используем свойство касательной: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

• Касательная $AC$ перпендикулярна радиусу $OA$, значит, $\angle OAC = 90^\circ$.
• Касательная $BC$ перпендикулярна радиусу $OB$, значит, $\angle OBC = 90^\circ$.

5. Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ запишем: $\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$.

6. Подставим известные значения углов в это равенство: $60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$.

7. Упростим выражение: $240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$.

8. Отсюда находим угол $\angle ACB$: $\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов. Один из углов, как мы нашли, равен $120^\circ$. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, касательные пересекаются под углами $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

4.26. Две окружности радиуса 4 см и 6 см имеют общий центр (их называют концентрическими окружностями). Найдите расстояние между наиболее удаленными точками этих окружностей.

Пусть даны две концентрические окружности, то есть окружности с общим центром. Обозначим их общий центр как точку $O$. Радиус первой окружности, согласно условию, равен $r_1 = 4$ см. Радиус второй окружности равен $r_2 = 6$ см.

Требуется найти расстояние между наиболее удаленными точками этих окружностей. Пусть точка $A$ принадлежит первой окружности, а точка $B$ — второй. Расстояние от любой точки первой окружности до центра $O$ всегда равно $r_1$, а расстояние от любой точки второй окружности до центра $O$ всегда равно $r_2$.

Чтобы максимизировать расстояние между точками $A$ и $B$, они должны располагаться на одной прямой, проходящей через их общий центр $O$, причем по разные стороны от этого центра. В этом случае расстояние между $A$ и $B$ будет равно сумме их расстояний до центра.

Рассмотрим прямую, проходящую через центр $O$. Она пересечет меньшую окружность в точке $A$ и большую окружность в точке $B$ так, что точка $O$ будет лежать на отрезке $AB$. Тогда расстояние от центра до точки $A$ равно $|OA| = r_1 = 4$ см. Расстояние от центра до точки $B$ равно $|OB| = r_2 = 6$ см.

Наибольшее расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине отрезка $AB$, которая вычисляется как сумма длин отрезков $|OA|$ и $|OB|$: $d_{max} = |OA| + |OB| = r_1 + r_2$

Подставим числовые значения: $d_{max} = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

4.27. Чему равна величина центрального угла $AOB$, если дуга $AB$ равна $\frac{1}{6}$ окружности?

По определению, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Полная окружность составляет $360^\circ$.

Из условия задачи известно, что дуга $AB$ составляет $\frac{1}{6}$ от всей окружности. Чтобы найти градусную меру этой дуги, нужно умножить градусную меру всей окружности на данную дробь:

Градусная мера дуги $AB = \frac{1}{6} \times 360^\circ = 60^\circ$.

Так как центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$, его величина равна градусной мере этой дуги.

Следовательно, величина центрального угла $AOB$ составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

4.28. Какова градусная мера $\frac{1}{15}$ дуги центрального угла,
равного $90^\circ$?

Градусная мера дуги окружности по определению равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. В условии задачи дан центральный угол, равный $90^\circ$. Следовательно, градусная мера дуги, на которую опирается этот угол, также равна $90^\circ$. Чтобы найти градусную меру $\frac{1}{15}$ части этой дуги, необходимо полную градусную меру дуги ($90^\circ$) умножить на $\frac{1}{15}$.

Выполним вычисление: $90^\circ \times \frac{1}{15} = \frac{90^\circ}{15} = 6^\circ$.

Ответ: $6^\circ$.

4.29. Как разделить пополам дугу окружности, если центр этой окружности не указан?

Для того чтобы разделить дугу окружности пополам, не зная ее центра, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку:

1. Пусть концами данной дуги являются точки $A$ и $B$. Соединим эти точки прямым отрезком, получив хорду $AB$.
2. Построим серединный перпендикуляр к хорде $AB$. Для этого:
   • Установим раствор циркуля на расстояние, которое очевидно больше половины длины хорды $AB$.
   • Из точки $A$ как из центра проведём дугу окружности с одной стороны от хорды и с другой.
   • Не меняя раствора циркуля, из точки $B$ как из центра проведём другую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовём их $P_1$ и $P_2$).
   • С помощью линейки проведём прямую через точки пересечения $P_1$ и $P_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к хорде $AB$.
3. Точка пересечения построенного серединного перпендикуляра с исходной дугой $\frown{AB}$ и будет её серединой. Обозначим эту точку $M$.

Это построение является верным по следующей причине. Пусть $M$ — точка пересечения серединного перпендикуляра с дугой $\frown{AB}$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка ($A$ и $B$). Следовательно, длины отрезков (хорд) $MA$ и $MB$ равны. В одной и той же окружности равные хорды стягивают равные дуги. Таким образом, дуга $\frown{AM}$ равна дуге $\frown{BM}$, а это и означает, что точка $M$ является серединой дуги $\frown{AB}$.

Ответ: Необходимо соединить концы дуги хордой и построить к этой хорде серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с дугой разделит её пополам.

4.30. 1) Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а точка $O$ – вне этой прямой. Могут ли треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ с основаниями $AB$ и $BC$ быть равнобедренными? Обоснуйте ответ.

2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?

1) Предположим, что треугольники $AOB$ и $BOC$ являются равнобедренными с основаниями $AB$ и $BC$ соответственно.

Если треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$, то его боковые стороны равны, то есть $OA = OB$. Аналогично, если треугольник $BOC$ равнобедренный с основанием $BC$, то его боковые стороны равны, то есть $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$.

По определению, все точки плоскости, равноудаленные от одной данной точки (центра), лежат на окружности. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ должны лежать на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.

Однако по условию задачи точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Три различные точки не могут одновременно принадлежать и прямой, и окружности, так как прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках.

Таким образом, мы приходим к противоречию, которое означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, не могут.

2) Нет, окружность и прямая не могут пересекаться более чем в двух точках. Обоснуем это утверждение методом от противного.

Предположим, что некоторая прямая $l$ и окружность имеют три общие точки: $A$, $B$ и $C$.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, они равноудалены от её центра $O$. То есть, $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус окружности.

Условие $OA = OB$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Аналогично, условие $OB = OC$ означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Так как по нашему предположению точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$, то отрезки $AB$ и $BC$ также лежат на этой прямой. Серединные перпендикуляры к двум различным отрезкам, лежащим на одной прямой, являются двумя различными параллельными прямыми (поскольку оба перпендикулярны прямой $l$).

Таким образом, центр окружности $O$ должен быть точкой пересечения этих двух параллельных прямых. Но, как известно, параллельные прямые не пересекаются. Мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение о существовании трех общих точек у прямой и окружности неверно.

Ответ: нет, не могут.