Номер 4.20, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.20. Каждая из трех окружностей проходит через центры двух других. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

Обозначим центры трех окружностей как $O_1$, $O_2$ и $O_3$, а их радиусы — как $R_1$, $R_2$ и $R_3$ соответственно. Точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ являются вершинами треугольника.

Рассмотрим первую окружность с центром в $O_1$ и радиусом $R_1$. По условию, она проходит через центры двух других окружностей, то есть через точки $O_2$ и $O_3$. По определению окружности, расстояние от ее центра до любой точки на ней равно радиусу. Следовательно, расстояние от центра $O_1$ до точки $O_2$ и до точки $O_3$ равно радиусу $R_1$. Это можно записать как: $|O_1O_2| = R_1$ и $|O_1O_3| = R_1$.

Рассмотрим вторую окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R_2$. Она проходит через центры $O_1$ и $O_3$. Аналогично предыдущему пункту, получаем, что $|O_2O_1| = R_2$ и $|O_2O_3| = R_2$.

Рассмотрим третью окружность с центром в $O_3$ и радиусом $R_3$. Она проходит через центры $O_1$ и $O_2$. Следовательно, $|O_3O_1| = R_3$ и $|O_3O_2| = R_3$.

Теперь сопоставим полученные равенства. Из того, что $|O_1O_2| = R_1$ и $|O_2O_1| = R_2$, а также учитывая, что $|O_1O_2|$ и $|O_2O_1|$ представляют собой одно и то же расстояние, мы заключаем, что $R_1 = R_2$. Аналогично, из $|O_1O_3| = R_1$ и $|O_3O_1| = R_3$ следует, что $R_1 = R_3$.

Таким образом, радиусы всех трех окружностей равны между собой: $R_1 = R_2 = R_3$. Обозначим эту общую величину радиуса как $R$.

Длины сторон треугольника $\triangle O_1O_2O_3$ равны расстояниям между его вершинами (центрами окружностей). Мы установили, что:

$|O_1O_2| = R_1 = R$

$|O_2O_3| = R_2 = R$

$|O_3O_1| = R_3 = R$

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle O_1O_2O_3$ равны между собой ($|O_1O_2| = |O_2O_3| = |O_3O_1| = R$), по определению он является равносторонним.

Ответ: Центры окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.