Номер 4.14, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на этой окружности, из которой проведены две хорды, $AB$ и $AC$. По условию задачи, длины этих хорд равны радиусу окружности: $AB = R$ и $AC = R$. Требуется найти угол между этими хордами, то есть $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны:

• $OA = R$ (радиус окружности)
• $OB = R$ (радиус окружности)
• $AB = R$ (по условию задачи)

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle OAB$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle OAB = 60^\circ$ и $\angle AOB = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Его стороны:

• $OA = R$ (радиус окружности)
• $OC = R$ (радиус окружности)
• $AC = R$ (по условию задачи)

Этот треугольник также является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle OAC = 60^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$.

Из точки $A$ на окружности можно провести ровно две различные хорды длиной $R$. Их концы (точки $B$ и $C$) будут находиться по разные стороны от диаметра, проходящего через точку $A$. Это означает, что линия $OA$ является осью симметрии для фигуры, образованной точками $A, B, O, C$, и проходит между лучами $AB$ и $AC$.

Таким образом, угол между хордами $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle OAB$ и $\angle OAC$.

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Альтернативное решение с использованием теоремы о вписанном угле:

Как мы установили, центральные углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ равны $60^\circ$. Так как хорды $AB$ и $AC$ расположены по разные стороны от радиуса $OA$, центральный угол $\angle BOC$, стягивающий хорду $BC$, равен сумме углов $\angle AOB$ и $\angle AOC$:

$\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Этот угол является центральным углом, опирающимся на малую дугу $BC$. Вписанный угол $\angle BAC$ опирается на большую дугу $BC$. Величина большой дуги $BC$ равна $360^\circ - \angle BOC = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

По теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $120^\circ$.