Страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $70^\circ$. Биссектриса этого угла пересекает сторону $AC$ в точке $D$. $BD = DC$. Докажите, что $AB < AC$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $70°$, а отрезок $BD$ является его биссектрисой. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому:

$∠ABD = ∠DBC = \frac{∠B}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, $BD = DC$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углом при основании, противолежащим стороне $BD$, является угол $C$. Следовательно:

$∠C = ∠DBC$.

Так как мы уже определили, что $∠DBC = 35°$, то и угол $C$ также равен $35°$:

$∠C = 35°$.

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. В нем нам известны два угла: $∠B = 70°$ и $∠C = 35°$. Согласно свойству треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы $B$ и $C$:

$35° < 70°$, следовательно, $∠C < ∠B$.

Сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ лежит напротив угла $C$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $B$. Поскольку $∠C < ∠B$, то и длина стороны, лежащей напротив угла $C$, меньше длины стороны, лежащей напротив угла $B$. Таким образом, $AB < AC$.

Утверждение доказано.

Ответ: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $35°$, а угол $B$ равен $70°$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $∠C < ∠B$, то сторона $AB$, лежащая против угла $C$, меньше стороны $AC$, лежащей против угла $B$.

3.55. Точка $D$ лежит на основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Это означает, что боковые стороны равны ($AB = AC$), а также равны углы при основании ($\angle ABC = \angle ACB$). Точка $D$ лежит на основании $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно свойству о соотношении сторон и углов треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Чтобы доказать, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны $AB$, мы сравним в треугольнике $ABD$ углы, лежащие против этих сторон: $\angle ABD$ и $\angle ADB$.

Угол $\angle ADB$ является внешним для треугольника $ADC$. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ADB = \angle DAC + \angle ACD$

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то $\angle ACB = \angle ABC$. Угол $\angle ACD$ является тем же углом, что и $\angle ACB$, а $\angle ABD$ — тем же, что и $\angle ABC$. Следовательно, $\angle ACD = \angle ABD$.

Подставив это равенство в выражение для внешнего угла, получаем: $\angle ADB = \angle DAC + \angle ABD$

Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и, по условию строгого неравенства ("меньше"), не совпадает с точкой $C$, то отрезок $AD$ не совпадает с $AC$. Это означает, что угол $\angle DAC$ имеет положительную величину, то есть $\angle DAC > 0$.

Из этого следует, что угол $\angle ADB$ строго больше угла $\angle ABD$: $\angle ADB = \angle ABD + \angle DAC \implies \angle ADB > \angle ABD$

В треугольнике $ABD$ сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB$, а сторона $AD$ — напротив угла $\angle ABD$. Так как $\angle ADB > \angle ABD$, то и противолежащая сторона $AB$ больше противолежащей стороны $AD$. Следовательно, $AB > AD$, или $AD < AB$.

Таким образом, доказано, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны этого треугольника.

Ответ: Доказательство. В $\triangle ABD$ сравним углы $\angle ABD$ и $\angle ADB$. Угол $\angle ADB$ — внешний для $\triangle ADC$, поэтому $\angle ADB = \angle ACB + \angle DAC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle ACB = \angle ABC$. Тогда $\angle ADB = \angle ABC + \angle DAC$. Поскольку $D$ лежит на основании $BC$ и не совпадает с $C$, то $\angle DAC > 0$, откуда $\angle ADB > \angle ABC$ (или $\angle ADB > \angle ABD$). В $\triangle ABD$ против большего угла лежит большая сторона, значит, $AB > AD$. Что и требовалось доказать.

3.56. Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle C = 108^{\circ}$, $BD = 4,3$ см, $AB < 6$ см. Найдите сторону $AB$, если известно, что ее длина выражена целым числом.

Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, угол $\angle C = 108^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то сумма двух других углов этого треугольника составляет $\angle CBD + \angle BDC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Поскольку оба этих угла должны быть положительными, каждый из них меньше $72^\circ$, а значит, они оба острые. В частности, $\angle BDC < 72^\circ$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle BDA = 180^\circ - \angle BDC$. Используя полученное выше неравенство для $\angle BDC$, мы можем оценить $\angle BDA$:$\angle BDA = 180^\circ - \angle BDC > 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.Таким образом, угол $\angle BDA$ является тупым.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике угол $\angle BDA$ — тупой. Так как в треугольнике может быть только один тупой угол, $\angle BDA$ является наибольшим углом треугольника $ABD$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BDA$, следовательно, $AB$ является наибольшей стороной в треугольнике $ABD$. В частности, $AB > BD$.

По условию задачи, $BD = 4,3$ см. Следовательно, $AB > 4,3$ см. Также из условия известно, что $AB < 6$ см и длина стороны $AB$ выражена целым числом. Объединяя все условия, получаем двойное неравенство для длины стороны $AB$:$4,3 < AB < 6$.

Единственным целым числом, которое удовлетворяет этому неравенству, является 5. Значит, длина стороны $AB$ равна 5 см.

Ответ: 5 см.

3.57. На рисунке 3.20 $AO = BO$, $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $AC = BC$.

Рис. 3.20

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи стороны $AO$ и $BO$ равны, то есть $AO = BO$.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAB = \angle OBA$.

Также по условию задачи $\angle 1 = \angle 2$. Из рисунка видно, что под $\angle 1$ подразумевается угол $\angle CBO$, а под $\angle 2$ — угол $\angle CAO$. Таким образом, $\angle CBO = \angle CAO$.

Теперь рассмотрим углы большого треугольника $ABC$. Угол $\angle CAB$ можно представить как сумму двух углов: $\angle CAB = \angle CAO + \angle OAB$. Аналогично, угол $\angle CBA$ можно представить как сумму углов: $\angle CBA = \angle CBO + \angle OBA$.

Сравним выражения для углов $\angle CAB$ и $\angle CBA$:

$\angle CAB = \angle CAO + \angle OAB$

$\angle CBA = \angle CBO + \angle OBA$

Мы знаем, что $\angle CAO = \angle CBO$ (из условия $\angle 2 = \angle 1$) и $\angle OAB = \angle OBA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $AOB$). Поскольку слагаемые в правых частях равенств попарно равны, то и суммы равны. Следовательно, $\angle CAB = \angle CBA$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Так как в треугольнике $ABC$ углы при стороне $AB$ равны ($\angle CAB = \angle CBA$), то он является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle CBA$, а сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle CAB$. Следовательно, $AC = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AC$ и $BC$ доказано.

3.58. В треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причем $AD = CE$ и $AE = CD$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $CEA$. Сравним их. По условию задачи $AD = CE$ и $AE = CD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ADC$ (а именно $AD$, $CD$ и $AC$) соответственно равны трем сторонам треугольника $CEA$ ($CE$, $AE$ и $AC$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), отсюда следует, что треугольник $ADC$ равен треугольнику $CEA$. Запишем это как $ \triangle ADC \cong \triangle CEA $.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $ADC$ напротив стороны $CD$ находится угол $\angle DAC$. В треугольнике $CEA$ напротив равной ей стороны $AE$ находится угол $\angle ECA$. Следовательно, эти углы равны: $\angle DAC = \angle ECA$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ – на стороне $BC$, то $\angle DAC$ – это тот же угол, что и $\angle BAC$, а $\angle ECA$ – это тот же угол, что и $\angle BCA$. Таким образом, мы доказали, что в треугольнике $ABC$ равны два угла: $\angle BAC = \angle BCA$.

По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то треугольник является равнобедренным. Боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой, то есть $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным.

3.59. Докажите, что $AD < AB + BC + CD$ (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Для доказательства данного неравенства воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим данный четырехугольник $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. Применим неравенство треугольника к $\triangle ADC$. Для этого треугольника справедливо следующее неравенство, связывающее его стороны:

$AD < AC + CD$

2. Теперь применим неравенство треугольника к $\triangle ABC$. Для него справедливо:

$AC < AB + BC$

3. Теперь у нас есть два неравенства:

$AD < AC + CD$

$AC < AB + BC$

Мы можем подставить второе неравенство в первое. Так как $AC$ меньше суммы $AB + BC$, то, заменив $AC$ на эту сумму в первом неравенстве, мы его только усилим:

$AD < (AB + BC) + CD$

Раскрыв скобки, получаем искомое неравенство:

$AD < AB + BC + CD$

Данное утверждение является частным случаем общего свойства ломаной линии: длина отрезка, соединяющего концы ломаной, всегда меньше длины самой ломаной. В нашем случае отрезок — это $AD$, а ломаная — $ABCD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.60. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон равна 10 см. Найдите длину других сторон треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две стороны, называемые боковыми, равны между собой, а третья сторона называется основанием. Периметр треугольника, $P$, равен сумме длин всех его сторон. По условию, $P = 50$ см, а одна из сторон равна 10 см.

Возможны два случая в зависимости от того, является ли известная сторона боковой или основанием.

Случай 1: известная сторона является основанием треугольника.

Пусть основание треугольника равно 10 см. Две другие стороны — боковые и равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как $x$. Тогда периметр треугольника равен:

$P = x + x + 10$

Подставим известное значение периметра:

$50 = 2x + 10$

Решим уравнение, чтобы найти $x$:

$2x = 50 - 10$

$2x = 40$

$x = 20$

Таким образом, стороны треугольника равны 10 см, 20 см и 20 см. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей):

$20 + 20 > 10$ (40 > 10 — верно)

$10 + 20 > 20$ (30 > 20 — верно)

Так как неравенство треугольника выполняется, этот случай является возможным решением. Длины двух других сторон равны 20 см и 20 см.

Случай 2: известная сторона является боковой стороной треугольника.

Пусть боковая сторона равна 10 см. Так как треугольник равнобедренный, вторая боковая сторона также равна 10 см. Обозначим длину основания как $y$. Тогда периметр равен:

$P = 10 + 10 + y$

Подставим известное значение периметра:

$50 = 20 + y$

Найдем $y$:

$y = 50 - 20$

$y = 30$

Стороны треугольника в этом случае равны 10 см, 10 см и 30 см. Проверим неравенство треугольника:

$10 + 10 > 30$ (20 > 30 — неверно)

Сумма двух сторон (10+10=20) не больше третьей стороны (30), следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может. Этот случай не является решением.

Единственно возможным решением является первый случай.

Ответ: длины двух других сторон треугольника равны 20 см и 20 см.

3.61. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем из вершины $B$ медиану $BM$ и высоту $BH$ к стороне $AC$.

По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой, содержащей сторону $AC$. Точки $H$ (основание высоты) и $M$ (середина стороны $AC$) лежат на прямой $AC$. Следовательно, треугольник $\triangle BHM$ является прямоугольным, в котором угол $\angle BHM = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике $\triangle BHM$ сторона $BM$ (которая является медианой исходного треугольника $\triangle ABC$) является гипотенузой, так как лежит напротив прямого угла. Сторона $BH$ (которая является высотой $\triangle ABC$) — это катет.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше или равна длине любого из катетов. Таким образом, справедливо неравенство $BM \ge BH$.

Равенство $BM = BH$ достигается только в том случае, когда прямоугольный треугольник $\triangle BHM$ является вырожденным, то есть когда длина второго катета $MH$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ и $M$ совпадают. В этом случае медиана и высота, проведенные из вершины $B$, являются одним и тем же отрезком (что характерно, например, для равнобедренного треугольника с основанием $AC$).

Если же точки $H$ и $M$ не совпадают, то длина отрезка $MH > 0$. Тогда по теореме Пифагора для $\triangle BHM$ имеем: $BM^2 = BH^2 + MH^2$. Поскольку $MH^2 > 0$, то $BM^2 > BH^2$, и, следовательно, $BM > BH$.

Таким образом, в любом случае выполняется условие $BM \ge BH$, что и доказывает, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Утверждение доказано.

3.62. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, разность двух сторон равна 6 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны $a$, а основание равно $b$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, $P = 36$ см, следовательно, мы имеем уравнение:

$2a + b = 36$

Далее, в условии сказано, что один из внешних углов треугольника является острым. Внешний угол при некоторой вершине треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Если внешний угол острый (меньше $90^\circ$), то соответствующий ему внутренний угол должен быть тупым (больше $90^\circ$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы они были тупыми, их сумма превысила бы $180^\circ$, что невозможно для углов одного треугольника. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, который лежит напротив основания $b$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, основание $b$ должно быть самой длинной стороной треугольника, то есть $b > a$.

По условию, разность двух сторон равна 6 см. В равнобедренном треугольнике это может быть только разность между боковой стороной и основанием, то есть $|a - b| = 6$. Так как мы установили, что $b > a$, то это равенство можно записать как $b - a = 6$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 2a + b = 36 \\ b - a = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$: $b = a + 6$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2a + (a + 6) = 36$

$3a + 6 = 36$

$3a = 30$

$a = 10$ см

Теперь найдем длину основания $b$:

$b = a + 6 = 10 + 6 = 16$ см

Таким образом, стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.

Проверим выполнение неравенства треугольника: $10 + 10 > 16$, то есть $20 > 16$. Условие выполняется, такой треугольник существует. Условие $b > a$ ($16 > 10$) также выполняется, что гарантирует, что угол при вершине является тупым, а соответствующий ему внешний угол — острым.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.

3.63. Прямая пересекает две боковые стороны $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, а луч $BC$ в точке $F$. Докажите, что $AE > AD$ (рис. 3.22).

Рис. 3.22

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$. Из этого следует, что углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Обозначим величину этих равных углов как $\beta$.

Прямая, проходящая через точки $D$, $E$ и $F$, пересекает прямые, содержащие стороны треугольника. В частности, она пересекает прямую $AB$ в точке $D$, прямую $AC$ в точке $E$ и прямую $BC$ в точке $F$. При этом точка $D$ находится на отрезке $AB$, точка $E$ — на отрезке $AC$, а точка $C$ лежит между точками $B$ и $F$.

Для того чтобы доказать неравенство $AE > AD$ в треугольнике $ADE$, мы воспользуемся свойством углов и сторон треугольника: против большей стороны лежит больший угол. Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $\angle ADE > \angle AED$.

1. Рассмотрим углы, образующиеся при пересечении прямой $DEF$ и прямой $AC$ в точке $E$. Углы $\angle AED$ и $\angle CEF$ являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AED = \angle CEF$. Теперь рассмотрим треугольник $EFC$. Угол $\angle FCE$ является смежным с углом $\angle ACB$, поэтому $\angle FCE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \beta$. Сумма углов в треугольнике $EFC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle CEF + \angle EFC + \angle FCE = 180^\circ$. Подставив значение $\angle FCE$, получим: $\angle CEF + \angle EFC + (180^\circ - \beta) = 180^\circ$. Из этого уравнения выразим $\angle CEF$: $\angle CEF = \beta - \angle EFC$. Следовательно, $\angle AED = \beta - \angle EFC$.

2. Теперь рассмотрим углы при пересечении прямой $DEF$ и прямой $AB$ в точке $D$. Углы $\angle ADE$ и $\angle BDF$ являются вертикальными, поэтому $\angle ADE = \angle BDF$. Рассмотрим треугольник $BDF$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle BDF + \angle DBF + \angle BFD = 180^\circ$. Угол $\angle DBF$ — это угол $\angle ABC$, равный $\beta$. Угол $\angle BFD$ — это тот же угол, что и $\angle EFC$. Подставив известные величины в сумму углов, получим: $\angle BDF + \beta + \angle BFD = 180^\circ$. Отсюда $\angle BDF = 180^\circ - \beta - \angle BFD$. Таким образом, $\angle ADE = 180^\circ - \beta - \angle BFD$.

3. Теперь сравним величины углов $\angle ADE$ и $\angle AED$. Пусть $\gamma = \angle EFC = \angle BFD$.

$\angle AED = \beta - \gamma$

$\angle ADE = 180^\circ - \beta - \gamma$

Проверим, выполняется ли неравенство $\angle ADE > \angle AED$:

$180^\circ - \beta - \gamma > \beta - \gamma$

Прибавив $\gamma$ к обеим частям, получаем:

$180^\circ - \beta > \beta$

Прибавив $\beta$ к обеим частям, получаем:

$180^\circ > 2\beta$

Или $\beta < 90^\circ$.

Угол $\beta$ является углом при основании равнобедренного треугольника. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $\angle A + \angle B + \angle C = \angle A + 2\beta = 180^\circ$. Так как $\angle A$ — это угол треугольника, его величина строго больше нуля ($\angle A > 0$). Следовательно, $2\beta < 180^\circ$, что эквивалентно $\beta < 90^\circ$.

Таким образом, неравенство $\angle ADE > \angle AED$ является истинным.

Поскольку в треугольнике $ADE$ угол $\angle ADE$ больше угла $\angle AED$, то и сторона, лежащая напротив угла $\angle ADE$ (сторона $AE$), больше стороны, лежащей напротив угла $\angle AED$ (сторона $AD$). То есть, $AE > AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AE > AD$ доказано.

3.64. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и внутренними углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, лежащими против этих сторон соответственно.

Внешний угол треугольника при любой вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, величина внешнего угла, например, при вершине с углом $\alpha$, равна $180^\circ - \alpha$.

По условию, два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Пусть это будут внешние углы при вершинах с внутренними углами $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем записать равенство:$180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$

Вычитая $180^\circ$ из обеих частей уравнения, получаем:$-\alpha = -\beta$, что эквивалентно $\alpha = \beta$.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, также равны. В нашем случае это стороны $a$ и $b$. Следовательно, $a = b$.

Итак, мы имеем дело с равнобедренным треугольником. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:$P = a + b + c$.Поскольку $a=b$, формулу периметра можно записать как $P = 2a + c$.

По условию, периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Этой стороной может быть либо основание ($c$), либо боковая сторона ($a$). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Известная сторона — это основание треугольника.

Пусть основание $c = 16$ см. Тогда две другие стороны, боковые, равны между собой. Подставим известные значения в формулу периметра:$P = 2a + c$$74 = 2a + 16$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину боковой стороны $a$:$2a = 74 - 16$$2a = 58$$a = 29$

Таким образом, две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.Проверим, выполняется ли для такого треугольника (со сторонами 16, 29, 29) неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.$29 + 29 > 16 \implies 58 > 16$ (верно)$29 + 16 > 29 \implies 45 > 29$ (верно)Этот случай возможен.

Случай 2: Известная сторона — это боковая сторона треугольника.

Пусть боковая сторона $a = 16$ см. Так как треугольник равнобедренный, то вторая боковая сторона также равна 16 см. Найдем длину основания $c$ из формулы периметра:$P = 2a + c$$74 = 2 \cdot 16 + c$$74 = 32 + c$

Теперь найдем $c$:$c = 74 - 32$$c = 42$

В этом случае стороны треугольника равны 16 см, 16 см и 42 см.Проверим неравенство треугольника:$16 + 16 > 42$$32 > 42$ (неверно)

Треугольник с такими сторонами не может существовать. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственным решением является первый случай. Две неизвестные стороны треугольника равны.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.

3.65. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, в которой каждый из них делится пополам. Докажите, что $AO < \frac{AC + AD}{2}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая делит каждый из них пополам, следовательно $AO = OB$ и $CO = OD$. Кроме того, углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны, так как они являются вертикальными.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно: $AC = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Применим к нему неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон всегда больше длины третьей стороны:

$AD + BD > AB$

В этом неравенстве мы можем сделать две замены на основе известных нам фактов. Во-первых, заменим сторону $BD$ на равную ей сторону $AC$, как было доказано выше. Во-вторых, заменим сторону $AB$ на выражение $2 \cdot AO$, поскольку точка $O$ является серединой отрезка $AB$ и, следовательно, $AB = AO + OB = AO + AO = 2 \cdot AO$.

После подстановки неравенство примет вид:

$AD + AC > 2 \cdot AO$

Чтобы прийти к требуемому в задаче виду, разделим обе части неравенства на 2:

$\frac{AD + AC}{2} > AO$

Это неравенство можно записать и так:

$AO < \frac{AC + AD}{2}$

Ответ: Что и требовалось доказать.