Страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. У треугольника один из внутренних углов равен $30^\circ$, а один из внешних углов равен $40^\circ$. Найдите остальные внутренние углы треугольника.

Обозначим внутренние углы треугольника как $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма равна $ 180^\circ $: $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $.

По условию задачи, один из внутренних углов равен $ 30^\circ $. Пусть это будет $ \alpha = 30^\circ $.

Также известно, что один из внешних углов равен $ 40^\circ $. Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов.

Рассмотрим, с каким внутренним углом может быть смежен данный внешний угол. Сумма внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла всегда равна $ 180^\circ $.

Если бы внешний угол в $ 40^\circ $ был смежен с известным внутренним углом $ \alpha = 30^\circ $, их сумма была бы $ 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ $, что не равно $ 180^\circ $. Следовательно, этот случай невозможен.

Это означает, что внешний угол в $ 40^\circ $ смежен с одним из двух других неизвестных углов, например, с углом $ \beta $.

Теперь мы можем найти величину угла $ \beta $. Так как он смежен с внешним углом в $ 40^\circ $, их сумма равна $ 180^\circ $: $ \beta + 40^\circ = 180^\circ $

$ \beta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ $.

Мы нашли второй внутренний угол: $ \beta = 140^\circ $. Теперь, зная два угла ($ \alpha = 30^\circ $ и $ \beta = 140^\circ $), мы можем найти третий угол $ \gamma $, используя теорему о сумме углов треугольника: $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

$ 30^\circ + 140^\circ + \gamma = 180^\circ $

$ 170^\circ + \gamma = 180^\circ $

$ \gamma = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ $.

Итак, остальные внутренние углы треугольника равны $ 140^\circ $ и $ 10^\circ $.

Проверка: Можно было решить задачу, используя свойство, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае внешний угол при вершине $ \beta $ ($ 40^\circ $) равен сумме углов $ \alpha $ и $ \gamma $.

$ 40^\circ = \alpha + \gamma $

Подставляем известное значение $ \alpha = 30^\circ $:

$ 40^\circ = 30^\circ + \gamma $

$ \gamma = 10^\circ $.

Затем находим $ \beta $ из суммы всех углов: $ \beta = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 140^\circ $.

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $140^\circ$ и $10^\circ$.

3.15. Найдите неизвестный угол треугольника, если два других угла равны:

1) $50^\circ$ и $30^\circ$;

2) $40^\circ$ и $75^\circ$;

3) $60^\circ$ и $80^\circ$;

4) $25^\circ$ и $120^\circ$.

Для решения этой задачи используется теорема о сумме углов треугольника. Согласно этой теореме, сумма всех трех внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Следовательно, чтобы найти неизвестный угол, нужно из $180^\circ$ вычесть сумму двух известных углов.

1) 50° и 30°

Сначала найдем сумму двух известных углов:

$50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$

Теперь найдем неизвестный третий угол, вычтя полученную сумму из $180^\circ$:

$180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Ответ: $100^\circ$.

2) 40° и 75°

Найдем сумму двух известных углов:

$40^\circ + 75^\circ = 115^\circ$

Вычислим третий угол:

$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Ответ: $65^\circ$.

3) 60° и 80°

Найдем сумму двух известных углов:

$60^\circ + 80^\circ = 140^\circ$

Вычислим третий угол:

$180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

Ответ: $40^\circ$.

4) 25° и 120°

Найдем сумму двух известных углов:

$25^\circ + 120^\circ = 145^\circ$

Вычислим третий угол:

$180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$

Ответ: $35^\circ$.

3.16. Найдите внешний угол при третьей вершине треугольника, если два других угла равны:

1) $54^\circ$ и $36^\circ$;

2) $42^\circ$ и $78^\circ$;

3) $65^\circ$ и $35^\circ$;

4) $33^\circ$ и $120^\circ$.

Для решения этой задачи используется свойство внешнего угла треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника гласит, что внешний угол при любой вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Следовательно, для нахождения внешнего угла при третьей вершине нужно просто сложить два данных угла.

1) Даны углы $54^\circ$ и $36^\circ$.

Находим внешний угол при третьей вершине как сумму этих двух углов:

$54^\circ + 36^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) Даны углы $42^\circ$ и $78^\circ$.

Находим внешний угол при третьей вершине как сумму этих двух углов:

$42^\circ + 78^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

3) Даны углы $65^\circ$ и $35^\circ$.

Находим внешний угол при третьей вершине как сумму этих двух углов:

$65^\circ + 35^\circ = 100^\circ$.

Ответ: $100^\circ$.

4) Даны углы $33^\circ$ и $120^\circ$.

Находим внешний угол при третьей вершине как сумму этих двух углов:

$33^\circ + 120^\circ = 153^\circ$.

Ответ: $153^\circ$.

3.17. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен:

1) $40^\circ$

2) $60^\circ$

3) $100^\circ$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Рассмотрим все возможные случаи для каждого пункта.

1) Дан угол $40^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $40^\circ$.

Тогда на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Каждый из углов при основании равен $140^\circ / 2 = 70^\circ$.

Углы треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $40^\circ$.

Тогда второй угол при основании также равен $40^\circ$.

Угол при вершине равен $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Углы треугольника: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ или $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

2) Дан угол $60^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $60^\circ$.

Тогда на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Каждый из углов при основании равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним.

Случай Б: Угол при основании равен $60^\circ$.

Тогда второй угол при основании также равен $60^\circ$.

Угол при вершине равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$.

В обоих случаях получается равносторонний треугольник с углами по $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

3) Дан угол $100^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $100^\circ$.

Тогда на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Каждый из углов при основании равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Углы треугольника: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $100^\circ$.

В треугольнике не может быть два тупых угла, так как их сумма ($100^\circ + 100^\circ = 200^\circ$) уже превышает $180^\circ$. Следовательно, угол при основании не может быть равен $100^\circ$. Этот случай невозможен.

Ответ: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

3.18. Концы отрезка $AB$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Прямая, проходящая через середину $O$ этого отрезка, пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $C$ и $D$. Докажите, что $CO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

В этих треугольниках:

1. $AO = OB$, так как по условию задачи точка O является серединой отрезка AB.

2. $\angle CAO = \angle DBO$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей AB, а следовательно, они равны.

3. $\angle AOC = \angle BOD$. Эти углы являются вертикальными, поэтому они равны.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle AOC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle BOD$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Так как треугольники равны, то их соответственные элементы (в том числе стороны) равны. Сторона $CO$ треугольника $\triangle AOC$ соответствует стороне $OD$ треугольника $\triangle BOD$.

Значит, $CO = OD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $CO = OD$ следует из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$, которое устанавливается по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3.19. Прямая $a$ пересекает отрезок $AB$ в точке $O$, являющейся серединой отрезка $AB$. Докажите, что точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$.

Доказательство:

Пусть даны отрезок AB и прямая a, которая пересекает его в точке O. По условию задачи, точка O является серединой отрезка AB, из чего следует, что длины отрезков AO и OB равны: $AO = OB$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Чтобы найти расстояния от точек A и B до прямой a, выполним следующие построения:

1. Опустим из точки A перпендикуляр AH на прямую a. Длина отрезка AH и есть расстояние от точки A до прямой a.

2. Опустим из точки B перпендикуляр BK на прямую a. Длина отрезка BK — это расстояние от точки B до прямой a.

Цель доказательства — показать, что $AH = BK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHO$ и $\triangle BKO$.

Поскольку AH и BK являются перпендикулярами к прямой a, углы $\angle AHO$ и $\angle BKO$ — прямые, то есть $\angle AHO = \angle BKO = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle AHO$ и $\triangle BKO$ — прямоугольные.

Сравним эти два треугольника:

- Гипотенуза $AO$ треугольника $\triangle AHO$ равна гипотенузе $BO$ треугольника $\triangle BKO$ по условию ($AO = BO$).

- Угол $\angle AOH$ равен углу $\angle BOK$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых (прямая, содержащая отрезок AB, и прямая a).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHO$ и $\triangle BKO$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. В данном случае нас интересуют катеты AH и BK. Следовательно, $AH = BK$.

Так как AH — это расстояние от точки A до прямой a, а BK — это расстояние от точки B до прямой a, то мы доказали, что точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от точки A до прямой a равно расстоянию от точки B до прямой a.

3.20. По данным рисунка 3.14 найдите угол $1$.

$65^\circ$

$121^\circ$

$115^\circ$

Рис. 3.14

Для того чтобы найти угол 1, сначала необходимо установить, являются ли прямые a и d параллельными. Рассмотрим прямые a и d, пересеченные секущей c. Угол, равный $65^\circ$, и угол, равный $115^\circ$, являются внутренними односторонними углами. Согласно свойству параллельных прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим их сумму:

$65^\circ + 115^\circ = 180^\circ$

Так как сумма этих углов равна $180^\circ$, мы можем сделать вывод, что прямая a параллельна прямой d ($a \parallel d$).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых a, b и c. Угол 1 является одним из углов этого треугольника. Левый угол при основании этого треугольника по условию равен $65^\circ$.

Найдем правый угол при основании треугольника. Обозначим его $\angle{\alpha}$. Так как прямые a и d параллельны, а прямая b является секущей, то угол $\angle{\alpha}$ и угол $121^\circ$ являются внутренними односторонними углами. Их сумма должна быть равна $180^\circ$.

$\angle{\alpha} + 121^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle{\alpha}$:

$\angle{\alpha} = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$

Теперь мы знаем два угла треугольника: $65^\circ$ и $59^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем угол 1:

$\angle{1} + 65^\circ + 59^\circ = 180^\circ$

$\angle{1} + 124^\circ = 180^\circ$

$\angle{1} = 180^\circ - 124^\circ$

$\angle{1} = 56^\circ$

Ответ: $56^\circ$.

3.21. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей?

Пусть даны две параллельные прямые a и b, которые пересекает секущая c. При этом образуются два внутренних односторонних угла, которые мы обозначим как $∠α$ и $∠β$.

Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180°$.

$α + β = 180°$

Проведем биссектрисы этих углов. Биссектриса делит угол пополам. Первая биссектриса делит угол $∠α$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{α}{2}$. Вторая биссектриса делит угол $∠β$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{β}{2}$.

Эти две биссектрисы и отрезок секущей c, заключенный между параллельными прямыми, образуют треугольник. Два угла этого треугольника равны $\frac{α}{2}$ и $\frac{β}{2}$. Третий угол этого треугольника, который мы обозначим как $∠γ$, является искомым углом пересечения биссектрис.

Сумма углов в треугольнике всегда равна $180°$. Для образованного треугольника это можно записать в виде уравнения:

$\frac{α}{2} + \frac{β}{2} + γ = 180°$

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель за скобки:

$\frac{α + β}{2} + γ = 180°$

Мы знаем, что $α + β = 180°$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{180°}{2} + γ = 180°$

$90° + γ = 180°$

Теперь найдем искомый угол $γ$:

$γ = 180° - 90°$

$γ = 90°$

Следовательно, биссектрисы двух внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, пересекаются под прямым углом.

Ответ: $90°$

3.22. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 8, 5. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию задачи, величины этих углов пропорциональны числам 3, 8 и 5. Это означает, что мы можем представить углы в виде:

$\alpha = 3x$

$\beta = 8x$

$\gamma = 5x$

Здесь $x$ — это коэффициент пропорциональности, который представляет собой одну "часть" от общей суммы углов.

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Используя это свойство, мы можем составить уравнение:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Теперь подставим выражения для углов через $x$ в это уравнение:

$3x + 8x + 5x = 180^\circ$

Сложим все части, чтобы найти общее количество "частей":

$16x = 180^\circ$

Теперь решим уравнение, чтобы найти, скольким градусам равна одна "часть" ($x$):

$x = \frac{180^\circ}{16} = \frac{45^\circ}{4} = 11.25^\circ$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем вычислить точную величину каждого угла треугольника:

Первый угол: $\alpha = 3x = 3 \cdot 11.25^\circ = 33.75^\circ$

Второй угол: $\beta = 8x = 8 \cdot 11.25^\circ = 90^\circ$

Третий угол: $\gamma = 5x = 5 \cdot 11.25^\circ = 56.25^\circ$

Треугольник является прямоугольным, если один из его углов равен $90^\circ$. В нашем расчете мы получили, что один из углов (угол $\beta$) равен ровно $90^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: Углы треугольника равны $33.75^\circ$, $90^\circ$ и $56.25^\circ$. Так как один из углов равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

3.23. Один из углов треугольника на $30^\circ$ больше другого и на $30^\circ$ меньше третьего угла. Найдите все углы этого треугольника.

Пусть один из углов треугольника равен $x$. Согласно условию, этот угол на $30^\circ$ больше другого и на $30^\circ$ меньше третьего.

Обозначим три угла треугольника как $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.

Пусть $\alpha_1 = x$.

Тогда второй угол, который на $30^\circ$ меньше первого, будет равен $\alpha_2 = x - 30^\circ$.

А третий угол, который на $30^\circ$ больше первого, будет равен $\alpha_3 = x + 30^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Составим уравнение, используя это свойство:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

Подставим в это уравнение выражения для каждого угла через $x$:

$x + (x - 30^\circ) + (x + 30^\circ) = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Заметим, что $-30^\circ$ и $+30^\circ$ взаимно уничтожаются.

$x + x - 30^\circ + x + 30^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Итак, один из углов равен $60^\circ$. Теперь найдем два других угла:

Второй угол: $x - 30^\circ = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

Третий угол: $x + 30^\circ = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

Проверим: сумма углов $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Условия задачи выполнены.

Ответ: углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

3.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $AD$. Найдите $\angle ADC$, если $\angle C = 50^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

По условию задачи дано, что $\angle C = 50^{\circ}$. Значит, $\angle BAC$ также равен $50^{\circ}$.

В треугольнике проведена биссектриса $AD$. Это означает, что она делит угол $\angle BAC$ на два равных угла:

$\angle CAD = \angle DAB = \frac{\angle BAC}{2}$.

Вычислим величину угла $\angle CAD$:

$\angle CAD = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Для треугольника $ADC$ справедливо равенство:

$\angle ADC + \angle DCA + \angle CAD = 180^{\circ}$.

Мы знаем значения двух углов в этом треугольнике: $\angle DCA = \angle C = 50^{\circ}$ и $\angle CAD = 25^{\circ}$. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти искомый угол $\angle ADC$:

$\angle ADC + 50^{\circ} + 25^{\circ} = 180^{\circ}$.

$\angle ADC + 75^{\circ} = 180^{\circ}$.

$\angle ADC = 180^{\circ} - 75^{\circ}$.

$\angle ADC = 105^{\circ}$.

Ответ: $105^{\circ}$.

3.25. Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке N. Найдите $\angle ANB$, если $\angle A = 58^\circ$, $\angle B = 96^\circ$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B$, которые пересекаются в точке $N$. Это означает, что отрезок $AN$ является биссектрисой угла $A$, а отрезок $BN$ — биссектрисой угла $B$. Нам нужно найти угол $ANB$.

Биссектриса делит угол пополам. Зная, что $\angle A = 58^\circ$ и $\angle B = 96^\circ$, мы можем найти углы $\angle NAB$ и $\angle NBA$ в треугольнике $ANB$:

$\angle NAB = \frac{1}{2}\angle A = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$

$\angle NBA = \frac{1}{2}\angle B = \frac{96^\circ}{2} = 48^\circ$

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Рассмотрим треугольник $ANB$. Сумма его углов равна:

$\angle ANB + \angle NAB + \angle NBA = 180^\circ$

Подставим найденные значения углов $\angle NAB$ и $\angle NBA$ в это уравнение, чтобы найти $\angle ANB$:

$\angle ANB + 29^\circ + 48^\circ = 180^\circ$

$\angle ANB + 77^\circ = 180^\circ$

$\angle ANB = 180^\circ - 77^\circ$

$\angle ANB = 103^\circ$

Ответ: $103^\circ$