Номер 3.19, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19. Прямая $a$ пересекает отрезок $AB$ в точке $O$, являющейся серединой отрезка $AB$. Докажите, что точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$.

Доказательство:

Пусть даны отрезок AB и прямая a, которая пересекает его в точке O. По условию задачи, точка O является серединой отрезка AB, из чего следует, что длины отрезков AO и OB равны: $AO = OB$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Чтобы найти расстояния от точек A и B до прямой a, выполним следующие построения:

1. Опустим из точки A перпендикуляр AH на прямую a. Длина отрезка AH и есть расстояние от точки A до прямой a.

2. Опустим из точки B перпендикуляр BK на прямую a. Длина отрезка BK — это расстояние от точки B до прямой a.

Цель доказательства — показать, что $AH = BK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHO$ и $\triangle BKO$.

Поскольку AH и BK являются перпендикулярами к прямой a, углы $\angle AHO$ и $\angle BKO$ — прямые, то есть $\angle AHO = \angle BKO = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle AHO$ и $\triangle BKO$ — прямоугольные.

Сравним эти два треугольника:

- Гипотенуза $AO$ треугольника $\triangle AHO$ равна гипотенузе $BO$ треугольника $\triangle BKO$ по условию ($AO = BO$).

- Угол $\angle AOH$ равен углу $\angle BOK$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых (прямая, содержащая отрезок AB, и прямая a).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHO$ и $\triangle BKO$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. В данном случае нас интересуют катеты AH и BK. Следовательно, $AH = BK$.

Так как AH — это расстояние от точки A до прямой a, а BK — это расстояние от точки B до прямой a, то мы доказали, что точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от точки A до прямой a равно расстоянию от точки B до прямой a.