Номер 3.26, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. В треугольнике ABC $AB = 18$см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите:

1) расстояние от точки A до прямой BC;

2) длину проекции наклонной AB на прямую AC.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник ABC, так как $\angle C = 90^\circ$. Известно, что гипотенуза $AB = 18$ см и $\angle B = 30^\circ$.

1) расстояние от точки А до прямой BC

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. В треугольнике ABC катет AC перпендикулярен катету BC, так как угол C — прямой ($\angle C = 90^\circ$). Следовательно, искомое расстояние равно длине катета AC.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет AC лежит напротив угла B, равного $30^\circ$. Поэтому его длина вычисляется как: $AC = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Этот же результат можно получить, используя тригонометрическую функцию синуса: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$ $AC = AB \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

2) длину проекции наклонной AB на прямую AC

Проекцией отрезка (наклонной) на прямую называется отрезок, соединяющий проекции его концов на эту прямую. Наклонная в данном случае — это гипотенуза AB. Проекцию нужно найти на прямую, содержащую катет AC.

Проекцией точки A на прямую AC является сама точка A, так как она лежит на этой прямой. Проекцией точки B на прямую AC является основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую AC. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, то отрезок BC является таким перпендикуляром. Значит, проекцией точки B на прямую AC является точка C.

Таким образом, проекцией наклонной AB на прямую AC является катет AC. Следовательно, длина проекции равна длине катета AC.

Из пункта 1 мы знаем, что длина AC равна 9 см.

Ответ: 9 см.