Номер 3.33, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.33. Найдите углы прямоугольного треугольника, если биссектрисы двух его углов пересекаются под углом $70^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник, углы которого равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$. Известно, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Биссектрисы двух углов этого треугольника пересекаются под углом $70^\circ$. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, сумма которых равна $180^\circ$. Один из этих углов равен $70^\circ$ (острый), следовательно, другой угол равен $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (тупой). Угол, образуемый внутри треугольника, который формируют биссектрисы, может быть либо $70^\circ$, либо $110^\circ$.

Необходимо рассмотреть два возможных случая, какие именно биссектрисы пересекаются.

Первый случай: пересекаются биссектрисы двух острых углов $\alpha$ и $\beta$.

Пусть точка $I$ — точка пересечения биссектрис. Рассмотрим треугольник, образованный стороной исходного треугольника и двумя биссектрисами. Углы при этой стороне будут равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$. Третий угол этого треугольника, $\angle I$, является углом пересечения биссектрис. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle I + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$

$\angle I + \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ$

Подставим известное соотношение $\alpha + \beta = 90^\circ$:

$\angle I + \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ$

$\angle I + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle I = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Углы пересечения биссектрис в этом случае равны $135^\circ$ и $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Ни один из этих углов не равен $70^\circ$. Значит, этот случай не соответствует условию задачи.

Второй случай: пересекаются биссектрисы прямого угла ($90^\circ$) и одного из острых углов (например, $\alpha$).

Пусть точка $O$ — точка пересечения биссектрис. Они образуют треугольник, углы которого равны $\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$, $\frac{\alpha}{2}$ и угол пересечения $\angle O$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle O + 45^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

Угол $\angle O$ внутри этого треугольника является одним из углов пересечения, то есть он может быть $70^\circ$ или $110^\circ$.

Если предположить, что $\angle O = 70^\circ$, то:

$70^\circ + 45^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$115^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 65^\circ \implies \alpha = 130^\circ$

Это невозможно, так как острый угол прямоугольного треугольника не может быть больше $90^\circ$.

Следовательно, угол пересечения внутри треугольника должен быть тупым, то есть $\angle O = 110^\circ$.

$110^\circ + 45^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$155^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$

$\alpha = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$

Один из острых углов равен $50^\circ$. Найдем второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

Таким образом, углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.

Ответ: Углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.