Номер 3.38, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла B, опущены перпендикуляры DA и DC на стороны угла. Докажите, что $DA = DC$.

Для доказательства равенства отрезков $DA$ и $DC$ рассмотрим треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $.

По условию задачи, из точки $D$ на стороны угла $B$ опущены перпендикуляры $DA$ и $DC$. Это означает, что $DA$ перпендикулярно стороне, на которую опущен (обозначим ее $BA$), и $DC$ перпендикулярно другой стороне (обозначим ее $BC$). Следовательно, углы $ \angle DAB $ и $ \angle DCB $ являются прямыми: $ \angle DAB = \angle DCB = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $ — прямоугольные.

Также по условию, точка $D$ лежит на биссектрисе угла $B$. Это означает, что луч $BD$ делит угол $B$ пополам, то есть острые углы в рассматриваемых треугольниках равны: $ \angle ABD = \angle CBD $.

Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников и служит им гипотенузой.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника ($ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $), у которых:

1. Равны гипотенузы ($BD$ — общая).

2. Равны прилежащие к гипотенузе острые углы ($ \angle ABD = \angle CBD $).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $ \triangle DAB \cong \triangle DCB $ следует равенство их соответствующих сторон. Катет $DA$ треугольника $ \triangle DAB $ соответствует катету $DC$ треугольника $ \triangle DCB $.

Таким образом, $DA = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $DA = DC$ следует из равенства прямоугольных треугольников $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $. Эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), так как у них общая гипотенуза $BD$ и равные острые углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$ (поскольку $BD$ является биссектрисой угла $B$).