Номер 3.42, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. Могут ли биссектрисы двух углов прямоугольного треугольника пересекаться под углом $40^\circ$?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), а два других угла — $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$ — острые. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для прямоугольного треугольника справедливо соотношение $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, из которого следует, что сумма острых углов равна $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Рассмотрим все возможные случаи пересечения биссектрис двух углов этого треугольника. Угол пересечения двух прямых определяется как наименьший (острый) из углов, образованных при их пересечении. Проверим, может ли этот угол быть равен $40^\circ$.

Случай 1: Пересечение биссектрис двух острых углов ($\angle A$ и $\angle B$)

Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $I$. Эти биссектрисы вместе со стороной $AB$ образуют треугольник $AIB$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов треугольника $ABC$: $\angle IAB = \alpha/2$ и $\angle IBA = \beta/2$. Третий угол, $\angle AIB$, является одним из углов пересечения биссектрис. Найдем его величину, зная, что сумма углов в треугольнике $AIB$ равна $180^\circ$: $\angle AIB = 180^\circ - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$, мы можем подставить это значение в формулу: $\angle AIB = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, один из углов пересечения равен $135^\circ$. Смежный с ним угол, который является острым углом пересечения, равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. В этом случае угол пересечения биссектрис всегда равен $45^\circ$, что не равно $40^\circ$.

Случай 2: Пересечение биссектрисы прямого угла ($\angle C$) и биссектрисы одного из острых углов (например, $\angle A$)

Пусть биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle A$ пересекаются в точке $J$. Они образуют треугольник $AJC$. Углы этого треугольника равны: $\angle JCA = \angle C / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$ и $\angle JAC = \angle A / 2 = \alpha/2$. Найдем угол $\angle AJC$ из суммы углов треугольника $AJC$: $\angle AJC = 180^\circ - (\angle JCA + \angle JAC) = 180^\circ - (45^\circ + \frac{\alpha}{2}) = 135^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Угол $\alpha$ является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому его значение лежит в пределах $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Соответственно, для его половины имеем $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$. Это позволяет нам найти диапазон возможных значений для угла $\angle AJC$: $135^\circ - 45^\circ < \angle AJC < 135^\circ - 0^\circ$, что дает $90^\circ < \angle AJC < 135^\circ$.

Как видим, угол $\angle AJC$ всегда является тупым. Острый угол пересечения $\theta$ будет смежным с ним: $\theta = 180^\circ - \angle AJC = 180^\circ - (135^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 45^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Используя ограничение $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$, найдем диапазон для острого угла пересечения $\theta$: $45^\circ + 0^\circ < \theta < 45^\circ + 45^\circ$, что дает $45^\circ < \theta < 90^\circ$.

Следовательно, острый угол пересечения биссектрис прямого и острого углов всегда строго больше $45^\circ$ и меньше $90^\circ$. Он не может быть равен $40^\circ$. Рассмотрение пары биссектрис углов $\angle B$ и $\angle C$ полностью аналогично и приводит к такому же выводу.

Вывод

Мы рассмотрели все три возможных варианта пересечения биссектрис двух углов в прямоугольном треугольнике и показали, что ни в одном из них угол пересечения не может быть равен $40^\circ$.

Ответ: Нет, не могут.