Практические задания, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

П3 Начертите треугольник с неравными сторонами. С помощью измерительной линейки проверьте справедливость теорем 1 и 2.

Для выполнения этого задания начертим произвольный треугольник с тремя сторонами разной длины (разносторонний треугольник). Обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$.

С помощью измерительной линейки измерим длины его сторон. Для примера, пусть у нас получились следующие значения: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 10$ см. Мы видим, что все стороны имеют разную длину: $6 \neq 8 \neq 10$.

Теперь проверим справедливость теорем 1 и 2 на этом примере.

Теорема 1 (о соотношении между сторонами и углами треугольника)

Сформулируем теорему: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Мы измерили стороны и получили: $AC = 10$ см, $BC = 8$ см, $AB = 6$ см. Расположим их в порядке убывания длины: $AC > BC > AB$.

Теперь необходимо измерить углы, которые лежат напротив этих сторон. Для этого используется транспортир.

• Угол, лежащий напротив стороны $AC$ (самой длинной), — это $\angle B$.

• Угол, лежащий напротив стороны $BC$ (средней), — это $\angle A$.

• Угол, лежащий напротив стороны $AB$ (самой короткой), — это $\angle C$.

Проведя измерения транспортиром, мы получим следующие примерные значения углов: $\angle B \approx 90^{\circ}$, $\angle A \approx 53^{\circ}$, $\angle C \approx 37^{\circ}$.

Расположим углы в порядке убывания их величины: $\angle B > \angle A > \angle C$.

Теперь сравним порядок сторон и порядок противолежащих им углов:

Стороны: $AC (10 \text{ см}) > BC (8 \text{ см}) > AB (6 \text{ см})$

Углы: $\angle B (90^{\circ}) > \angle A (53^{\circ}) > \angle C (37^{\circ})$

Соотношение полностью выполняется: самой большой стороне $AC$ противолежит самый большой угол $\angle B$, средней стороне $BC$ — средний угол $\angle A$, а самой маленькой стороне $AB$ — самый маленький угол $\angle C$. Следовательно, теорема 1 справедлива.

Ответ: теорема 1, утверждающая, что против большей стороны треугольника лежит больший угол (и наоборот), подтверждается измерениями.

Теорема 2 (неравенство треугольника)

Сформулируем теорему: любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Мы используем измеренные длины сторон нашего треугольника: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 10$ см. Для проверки теоремы нужно убедиться, что выполняются три неравенства.

Проверка для стороны $AB$: она должна быть меньше суммы $BC$ и $AC$.

$AB < BC + AC \implies 6 < 8 + 10 \implies 6 < 18$. Неравенство верное.

Проверка для стороны $BC$: она должна быть меньше суммы $AB$ и $AC$.

$BC < AB + AC \implies 8 < 6 + 10 \implies 8 < 16$. Неравенство верное.

Проверка для стороны $AC$: она должна быть меньше суммы $AB$ и $BC$.

$AC < AB + BC \implies 10 < 6 + 8 \implies 10 < 14$. Неравенство верное.

Все три условия выполняются. Каждая сторона нашего треугольника меньше суммы двух других сторон. Следовательно, теорема 2 справедлива.

Ответ: теорема 2 (неравенство треугольника) подтверждается измерениями.