Номер 3.41, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. Прямая, проходящая через середину биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ перпендикулярно $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $KD \parallel AB$.

Пусть $M$ — середина биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$. По условию задачи, прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Прямая, содержащая отрезок $MK$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AD$, так как она проходит через его середину $M$ и перпендикулярна ему.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$, следовательно, расстояния от точки $K$ до точек $A$ и $D$ равны: $AK = KD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AKD$. Поскольку две его стороны равны ($AK = KD$), он является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle KDA = \angle KAD$.

Из условия известно, что $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $\angle BAD = \angle CAD$. Так как точка $K$ лежит на луче $AC$, то угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle KAD$. Таким образом, мы имеем равенство $\angle BAD = \angle KAD$.

Мы получили два ключевых равенства:

1. $\angle KDA = \angle KAD$ (из свойств равнобедренного треугольника $AKD$).

2. $\angle BAD = \angle KAD$ (из определения биссектрисы).

Из этих двух равенств следует, что $\angle KDA = \angle BAD$.

Углы $\angle KDA$ и $\angle BAD$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $KD$ и $AB$ секущей $AD$. Так как мы доказали, что эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $KD$ и $AB$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.