Номер 3.36, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. Докажите, что если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Данное утверждение можно доказать методом от противного. Этот метод заключается в том, что мы предполагаем обратное тому, что нужно доказать, и приходим к противоречию с условиями задачи.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересечены третьей прямой (секущей) $c$. При этом образуются две пары накрест лежащих углов. Возьмем одну из них и обозначим эти углы как $\angle 1$ и $\angle 2$.

По условию задачи, накрест лежащие углы не равны, то есть $\angle 1 \neq \angle 2$.

Требуется доказать, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Сделаем предположение, обратное доказываемому утверждению: предположим, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

В евклидовой геометрии две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, наше предположение означает, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Теперь воспользуемся свойством параллельных прямых, которое гласит: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Так как мы предположили, что $a \parallel b$, то из этого свойства следует, что должно выполняться равенство $\angle 1 = \angle 2$.

Однако это следствие ($\angle 1 = \angle 2$) напрямую противоречит исходному условию нашей задачи, в котором дано, что $\angle 1 \neq \angle 2$.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, утверждение "прямые $a$ и $b$ не пересекаются" неверно.

Поскольку для двух различных прямых на плоскости есть только две возможности — либо они параллельны (не пересекаются), либо они пересекаются, — а мы доказали, что они не могут быть параллельны, то остается единственная возможность: прямые $a$ и $b$ пересекаются. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказывается методом от противного. Если предположить, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются (то есть параллельны), то по свойству параллельных прямых накрест лежащие углы должны быть равны. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что углы не равны. Следовательно, исходное предположение неверно, а значит, прямые $a$ и $b$ пересекаются.