Номер 3.29, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $115^\circ$. Найдите углы треугольника.

Внешний угол треугольника смежен с одним из его внутренних углов. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поскольку в условии не уточнено, при какой вершине находится данный внешний угол, мы должны рассмотреть два возможных варианта.

Случай 1. Внешний угол смежен с углом при вершине равнобедренного треугольника

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с углом при вершине треугольника (углом, противолежащим основанию). Найдем этот внутренний угол, обозначим его $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обозначим каждый из них как $\beta$. Тогда:

$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$

$65^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 65^\circ$

$2\beta = 115^\circ$

$\beta = \frac{115^\circ}{2} = 57.5^\circ$

В этом случае углы треугольника равны $65^\circ$, $57.5^\circ$ и $57.5^\circ$.

Ответ: $65^\circ, 57.5^\circ, 57.5^\circ$.

Случай 2. Внешний угол смежен с углом при основании равнобедренного треугольника

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с одним из углов при основании. Найдем этот внутренний угол, обозначим его $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

По свойству равнобедренного треугольника, второй угол при основании также равен $65^\circ$.

Найдем третий угол — угол при вершине, обозначим его $\alpha$. Используем теорему о сумме углов треугольника:

$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$

$\alpha + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ$

$\alpha + 130^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

В этом случае углы треугольника равны $50^\circ$, $65^\circ$ и $65^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.