Номер 3.30, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $AD$. Найдите углы этого треугольника, если $\angle ADB = 110^{\circ}$.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

$AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, поэтому она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$.

Пусть величина угла $\angle DAC$ равна $x$. Тогда $\angle BAD = x$, и весь угол при основании $\angle BAC$ равен $x + x = 2x$. Соответственно, и второй угол при основании $\angle BCA$ также равен $2x$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$. Согласно свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$\angle ADB = \angle DAC + \angle BCA$

Нам дано, что $\angle ADB = 110^\circ$. Подставим известные значения и наши обозначения в формулу:

$110^\circ = x + 2x$

Решим полученное уравнение:

$3x = 110^\circ$

$x = \frac{110^\circ}{3}$

Теперь мы можем найти величины углов треугольника $ABC$.

Углы при основании $AC$:

$\angle BAC = \angle BCA = 2x = 2 \cdot \frac{110^\circ}{3} = \frac{220^\circ}{3} = 73\frac{1}{3}^\circ$

Угол при вершине $B$, $\angle ABC$, найдем из условия, что сумма всех углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\frac{220^\circ}{3} + \frac{220^\circ}{3}) = 180^\circ - \frac{440^\circ}{3}$

$\angle ABC = \frac{540^\circ}{3} - \frac{440^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$

Ответ: $\angle BAC = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle BCA = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle ABC = 33\frac{1}{3}^\circ$.