Страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. В треугольнике ABC $AB = 18$см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите:

1) расстояние от точки A до прямой BC;

2) длину проекции наклонной AB на прямую AC.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник ABC, так как $\angle C = 90^\circ$. Известно, что гипотенуза $AB = 18$ см и $\angle B = 30^\circ$.

1) расстояние от точки А до прямой BC

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. В треугольнике ABC катет AC перпендикулярен катету BC, так как угол C — прямой ($\angle C = 90^\circ$). Следовательно, искомое расстояние равно длине катета AC.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет AC лежит напротив угла B, равного $30^\circ$. Поэтому его длина вычисляется как: $AC = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Этот же результат можно получить, используя тригонометрическую функцию синуса: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$ $AC = AB \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

2) длину проекции наклонной AB на прямую AC

Проекцией отрезка (наклонной) на прямую называется отрезок, соединяющий проекции его концов на эту прямую. Наклонная в данном случае — это гипотенуза AB. Проекцию нужно найти на прямую, содержащую катет AC.

Проекцией точки A на прямую AC является сама точка A, так как она лежит на этой прямой. Проекцией точки B на прямую AC является основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую AC. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, то отрезок BC является таким перпендикуляром. Значит, проекцией точки B на прямую AC является точка C.

Таким образом, проекцией наклонной AB на прямую AC является катет AC. Следовательно, длина проекции равна длине катета AC.

Из пункта 1 мы знаем, что длина AC равна 9 см.

Ответ: 9 см.

3.27. В треугольнике ABC $\angle A = \angle B = 45^\circ$ и $AB = 19$ см. Найдите:

1) расстояние от точки С до прямой AB;

2) длину проекции отрезка AC на прямую AB (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Поскольку в треугольнике ABC углы при основании AB равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB. Это означает, что боковые стороны равны: $AC = BC$.

1) расстояние от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из вершины C высоту CH на сторону AB. Длина отрезка CH и будет искомым расстоянием.

В равнобедренном треугольнике ABC высота CH, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что точка H делит основание AB пополам.

Найдем длину отрезка AH:

$AH = BH = \frac{AB}{2} = \frac{19}{2} = 9.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC (так как CH — высота, $\angle AHC = 90^\circ$). Мы знаем, что $\angle A = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике AHC два угла равны ($\angle A = \angle ACH = 45^\circ$), он является равнобедренным. Следовательно, катеты этого треугольника равны: $CH = AH$.

Поскольку мы уже вычислили, что $AH = 9.5$ см, то и $CH = 9.5$ см.

Ответ: 9,5 см.

2) длину проекции отрезка АС на прямую АВ

Проекцией отрезка AC на прямую AB является отрезок на прямой AB, концами которого служат проекции точек A и C.

Проекцией точки A на прямую AB является сама точка A.

Проекцией точки C на прямую AB является основание перпендикуляра, опущенного из точки C на эту прямую, то есть точка H.

Таким образом, проекцией отрезка AC на прямую AB является отрезок AH.

Длину отрезка AH мы нашли при решении первого пункта:

$AH = 9.5$ см.

Ответ: 9,5 см.

3.28. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Для доказательства утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC$, а $AB$ является основанием.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Обозначим величину этих углов через $\alpha$:

$\angle CAB = \angle CBA = \alpha$.

Рассмотрим внешний угол при вершине $C$. Для этого продлим сторону $BC$ за точку $C$ до точки $D$. Угол $\angle ACD$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ACD = \angle CAB + \angle CBA = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Пусть $CE$ — биссектриса внешнего угла $\angle ACD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle ACE = \frac{\angle ACD}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Теперь сравним угол $\angle ACE$ с углом $\angle CAB$. Мы видим, что $\angle ACE = \alpha$ и $\angle CAB = \alpha$, следовательно, $\angle ACE = \angle CAB$.

Эти два угла являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $CE$ и $AB$ секущей $AC$.

По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как $\angle ACE = \angle CAB$, то прямая $CE$ параллельна прямой $AB$.

Таким образом, биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.29. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $115^\circ$. Найдите углы треугольника.

Внешний угол треугольника смежен с одним из его внутренних углов. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поскольку в условии не уточнено, при какой вершине находится данный внешний угол, мы должны рассмотреть два возможных варианта.

Случай 1. Внешний угол смежен с углом при вершине равнобедренного треугольника

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с углом при вершине треугольника (углом, противолежащим основанию). Найдем этот внутренний угол, обозначим его $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обозначим каждый из них как $\beta$. Тогда:

$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$

$65^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 65^\circ$

$2\beta = 115^\circ$

$\beta = \frac{115^\circ}{2} = 57.5^\circ$

В этом случае углы треугольника равны $65^\circ$, $57.5^\circ$ и $57.5^\circ$.

Ответ: $65^\circ, 57.5^\circ, 57.5^\circ$.

Случай 2. Внешний угол смежен с углом при основании равнобедренного треугольника

Пусть данный внешний угол в $115^\circ$ смежен с одним из углов при основании. Найдем этот внутренний угол, обозначим его $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

По свойству равнобедренного треугольника, второй угол при основании также равен $65^\circ$.

Найдем третий угол — угол при вершине, обозначим его $\alpha$. Используем теорему о сумме углов треугольника:

$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$

$\alpha + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ$

$\alpha + 130^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

В этом случае углы треугольника равны $50^\circ$, $65^\circ$ и $65^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

3.30. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $AD$. Найдите углы этого треугольника, если $\angle ADB = 110^{\circ}$.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

$AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, поэтому она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$.

Пусть величина угла $\angle DAC$ равна $x$. Тогда $\angle BAD = x$, и весь угол при основании $\angle BAC$ равен $x + x = 2x$. Соответственно, и второй угол при основании $\angle BCA$ также равен $2x$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$. Согласно свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$\angle ADB = \angle DAC + \angle BCA$

Нам дано, что $\angle ADB = 110^\circ$. Подставим известные значения и наши обозначения в формулу:

$110^\circ = x + 2x$

Решим полученное уравнение:

$3x = 110^\circ$

$x = \frac{110^\circ}{3}$

Теперь мы можем найти величины углов треугольника $ABC$.

Углы при основании $AC$:

$\angle BAC = \angle BCA = 2x = 2 \cdot \frac{110^\circ}{3} = \frac{220^\circ}{3} = 73\frac{1}{3}^\circ$

Угол при вершине $B$, $\angle ABC$, найдем из условия, что сумма всех углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\frac{220^\circ}{3} + \frac{220^\circ}{3}) = 180^\circ - \frac{440^\circ}{3}$

$\angle ABC = \frac{540^\circ}{3} - \frac{440^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$

Ответ: $\angle BAC = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle BCA = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle ABC = 33\frac{1}{3}^\circ$.

3.31. Найдите углы прямоугольного треугольника, если его высота, проведенная из вершины прямого угла, образует с катетом угол $50^{\circ}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Из вершины прямого угла $C$ проведем высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, поэтому $\angle CHA = 90^\circ$. Таким образом, высота $CH$ делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Согласно условию задачи, высота $CH$ образует с одним из катетов угол $50^\circ$. Предположим, что этот угол образован с катетом $AC$, то есть $\angle ACH = 50^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол $A$ исходного треугольника:

$\angle A = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим исходный прямоугольный треугольник $ABC$. Мы знаем, что $\angle C = 90^\circ$ и мы нашли, что $\angle A = 40^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ABC$ также равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Таким образом, углы искомого треугольника равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.

(Если бы мы предположили, что высота образует угол $50^\circ$ с катетом $BC$, то есть $\angle BCH = 50^\circ$, то аналогичные расчеты в $\triangle BCH$ дали бы $\angle B = 40^\circ$, а затем для $\triangle ABC$ мы бы получили $\angle A = 50^\circ$. Набор углов треугольника остался бы тем же).

Ответ: углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.

3.32. Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом $45^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$ — его острые углы.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника сумма острых углов равна:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Проведем биссектрисы острых углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центром вписанной окружности, но для решения это не обязательно.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный биссектрисами и стороной $AB$.

Поскольку $AO$ — биссектриса угла $A$, то $\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $BO$ — биссектриса угла $B$, то $\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Найдем сумму этих двух углов в треугольнике $AOB$:

$\angle OAB + \angle OBA = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$

Мы уже установили, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в выражение:

$\angle OAB + \angle OBA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$. Теперь мы можем найти угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)$

$\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Угол $\angle AOB = 135^\circ$ — это один из углов, под которым пересекаются биссектрисы. Этот угол является тупым. Углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать острый угол. Острый угол будет смежным с углом $\angle AOB$ и равен:

$180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Таким образом, доказано, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом $45^\circ$.

Ответ: Острый угол, образованный при пересечении биссектрис острых углов прямоугольного треугольника, равен $45^\circ$.

3.33. Найдите углы прямоугольного треугольника, если биссектрисы двух его углов пересекаются под углом $70^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник, углы которого равны $\alpha$, $\beta$ и $90^\circ$. Известно, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Биссектрисы двух углов этого треугольника пересекаются под углом $70^\circ$. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, сумма которых равна $180^\circ$. Один из этих углов равен $70^\circ$ (острый), следовательно, другой угол равен $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (тупой). Угол, образуемый внутри треугольника, который формируют биссектрисы, может быть либо $70^\circ$, либо $110^\circ$.

Необходимо рассмотреть два возможных случая, какие именно биссектрисы пересекаются.

Первый случай: пересекаются биссектрисы двух острых углов $\alpha$ и $\beta$.

Пусть точка $I$ — точка пересечения биссектрис. Рассмотрим треугольник, образованный стороной исходного треугольника и двумя биссектрисами. Углы при этой стороне будут равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$. Третий угол этого треугольника, $\angle I$, является углом пересечения биссектрис. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle I + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$

$\angle I + \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ$

Подставим известное соотношение $\alpha + \beta = 90^\circ$:

$\angle I + \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ$

$\angle I + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle I = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Углы пересечения биссектрис в этом случае равны $135^\circ$ и $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Ни один из этих углов не равен $70^\circ$. Значит, этот случай не соответствует условию задачи.

Второй случай: пересекаются биссектрисы прямого угла ($90^\circ$) и одного из острых углов (например, $\alpha$).

Пусть точка $O$ — точка пересечения биссектрис. Они образуют треугольник, углы которого равны $\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$, $\frac{\alpha}{2}$ и угол пересечения $\angle O$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle O + 45^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

Угол $\angle O$ внутри этого треугольника является одним из углов пересечения, то есть он может быть $70^\circ$ или $110^\circ$.

Если предположить, что $\angle O = 70^\circ$, то:

$70^\circ + 45^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$115^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 65^\circ \implies \alpha = 130^\circ$

Это невозможно, так как острый угол прямоугольного треугольника не может быть больше $90^\circ$.

Следовательно, угол пересечения внутри треугольника должен быть тупым, то есть $\angle O = 110^\circ$.

$110^\circ + 45^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$155^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$

$\alpha = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$

Один из острых углов равен $50^\circ$. Найдем второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

Таким образом, углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.

Ответ: Углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.

3.34. В треугольнике $ABC$ медиана $AD$ равна половине стороны $BC$. Докажите, что $\Delta ABC$ — прямоугольный.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AD$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. По условию задачи, длина медианы $AD$ равна половине длины стороны $BC$, то есть, $AD = \frac{1}{2}BC$.

Доказательство

1. Так как $AD$ — медиана, то точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Это означает, что она делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BD = DC$.

2. Из определения середины отрезка также следует, что $BD = DC = \frac{1}{2}BC$.

3. По условию задачи нам дано, что $AD = \frac{1}{2}BC$.

4. Сопоставляя равенства из пунктов 2 и 3, мы приходим к выводу, что $AD = BD = DC$.

5. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AD = BD$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle{BAD} = \angle{ABD}$ (или $\angle{B}$). Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Поскольку $AD = DC$, этот треугольник также является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle{CAD} = \angle{ACD}$ (или $\angle{C}$). Обозначим величину этих углов через $\beta$.

7. Угол $\angle{BAC}$ треугольника $ABC$ является суммой углов $\angle{BAD}$ и $\angle{CAD}$. Таким образом, $\angle{BAC} = \alpha + \beta$.

8. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle{BAC} + \angle{B} + \angle{C} = 180^\circ$

9. Подставим в это уравнение выражения для углов через $\alpha$ и $\beta$ из предыдущих пунктов:

$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

10. Так как $\angle{BAC} = \alpha + \beta$, из последнего равенства следует, что $\angle{BAC} = 90^\circ$.

Поскольку один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как угол $\angle{BAC}$ равен $90^\circ$.

3.35. Даны две прямые $a$ и $b$. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. В евклидовой геометрии на плоскости это означает, что они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $M$. Таким образом, $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$.

Поскольку $a$ и $b$ — это разные прямые, на прямой $a$ существуют точки, отличные от $M$. Выберем одну такую точку и назовем ее $P$. Итак, точка $P$ лежит на прямой $a$ ($P \in a$), но не лежит на прямой $b$ (так как единственная общая точка — это $M$).

Теперь, согласно аксиоме о параллельных прямых (постулату Евклида), через точку $P$, не лежащую на прямой $b$, можно провести единственную прямую, параллельную прямой $b$. Назовем эту прямую $c$.

Рассмотрим построенную прямую $c$:

1. Прямая $c$ пересекает прямую $a$, так как проходит через точку $P$, которая принадлежит прямой $a$.

2. Прямая $c$ по построению параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$), а значит, не имеет с ней общих точек, то есть не пересекает ее.

Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это прямо противоречит условию задачи, которое гласит, что любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, было ложным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.36. Докажите, что если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Данное утверждение можно доказать методом от противного. Этот метод заключается в том, что мы предполагаем обратное тому, что нужно доказать, и приходим к противоречию с условиями задачи.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересечены третьей прямой (секущей) $c$. При этом образуются две пары накрест лежащих углов. Возьмем одну из них и обозначим эти углы как $\angle 1$ и $\angle 2$.

По условию задачи, накрест лежащие углы не равны, то есть $\angle 1 \neq \angle 2$.

Требуется доказать, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Сделаем предположение, обратное доказываемому утверждению: предположим, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

В евклидовой геометрии две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, наше предположение означает, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Теперь воспользуемся свойством параллельных прямых, которое гласит: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Так как мы предположили, что $a \parallel b$, то из этого свойства следует, что должно выполняться равенство $\angle 1 = \angle 2$.

Однако это следствие ($\angle 1 = \angle 2$) напрямую противоречит исходному условию нашей задачи, в котором дано, что $\angle 1 \neq \angle 2$.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, утверждение "прямые $a$ и $b$ не пересекаются" неверно.

Поскольку для двух различных прямых на плоскости есть только две возможности — либо они параллельны (не пересекаются), либо они пересекаются, — а мы доказали, что они не могут быть параллельны, то остается единственная возможность: прямые $a$ и $b$ пересекаются. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказывается методом от противного. Если предположить, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются (то есть параллельны), то по свойству параллельных прямых накрест лежащие углы должны быть равны. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что углы не равны. Следовательно, исходное предположение неверно, а значит, прямые $a$ и $b$ пересекаются.

3.37. Треугольник $ABC$ и точки $P$ и $Q$ такие, что середина отрезка $BP$ совпадает с серединой стороны $AC$, а середина отрезка $CQ$ – с серединой стороны $AB$. Докажите, что точки $A$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Пусть M – середина стороны AC, а N – середина стороны AB треугольника ABC.

Рассмотрим четырехугольник ABPC. По условию, середина отрезка BP совпадает с серединой стороны AC. Это значит, что точка M является серединой как диагонали AC, так и диагонали BP. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, ABPC – это параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны и равны. В частности, сторона AP параллельна стороне BC. Это можно также выразить в векторной форме: $\vec{AP} = \vec{BC}$.

Теперь рассмотрим четырехугольник ACQB. По второму условию задачи, середина отрезка CQ совпадает с серединой стороны AB. Это значит, что точка N является серединой как диагонали AB, так и диагонали CQ. Следовательно, четырехугольник ACQB – это также параллелограмм.

Из свойств этого параллелограмма следует, что сторона AQ параллельна стороне CB. В векторной форме это записывается как $\vec{AQ} = \vec{CB}$.

Теперь сопоставим полученные результаты. Мы установили, что:

1. Прямая, содержащая отрезок AP, параллельна прямой, содержащей отрезок BC.

2. Прямая, содержащая отрезок AQ, параллельна прямой, содержащей отрезок CB.

Прямые BC и CB – это одна и та же прямая. Следовательно, обе прямые AP и AQ параллельны прямой BC. Согласно аксиоме параллельных прямых (через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной), две различные прямые, проходящие через одну и ту же точку A и параллельные третьей прямой (BC), должны совпадать.

Таким образом, прямые AP и AQ совпадают, а это означает, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Этот же вывод можно получить, используя векторные равенства, полученные ранее: $\vec{AP} = \vec{BC}$ и $\vec{AQ} = \vec{CB}$. Поскольку вектор $\vec{CB}$ является противоположным вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$, мы можем записать:$$ \vec{AQ} = -\vec{AP} $$Данное равенство означает, что векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$ коллинеарны, имеют равные модули и противоположные направления. Так как они отложены от одной точки A, это доказывает, что точки A, P и Q лежат на одной прямой, причём A является серединой отрезка PQ.

Ответ: Утверждение доказано.