Страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ Начертите прямую $a$ и возьмите точку $A$ вне этой прямой. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $a$.

ПЗ Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $a$, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. С помощью линейки начертим произвольную прямую и обозначим её $a$. Вне этой прямой поставим точку и обозначим её $A$.

2. Далее, необходимо построить перпендикуляр из точки $A$ к прямой $a$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ с использованием угольника:

Приложите одну из сторон чертежного угольника, образующих прямой угол, к прямой $a$. Перемещайте угольник вдоль прямой до тех пор, пока вторая сторона с прямым углом не пройдет через точку $A$. Проведите отрезок от точки $A$ до прямой $a$ вдоль этой стороны угольника. Точку пересечения отрезка с прямой $a$ назовем $H$.

Способ с использованием циркуля и линейки:

a) Установите острие циркуля в точку $A$ и начертите дугу таким радиусом, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках (назовем их $B$ и $C$).

б) Из точек $B$ и $C$ проведите две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись между собой (в точке $D$).

в) С помощью линейки соедините точку $A$ с точкой $D$. Полученный отрезок $AD$ пересечет прямую $a$ в точке $H$. Отрезок $AH$ будет перпендикулярен прямой $a$.

3. Полученный отрезок $AH$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $a$.

4. С помощью измерительной линейки найдите длину отрезка $AH$. Эта длина и будет искомым расстоянием.

Поскольку в условии задачи не заданы конкретные координаты или размеры, точный численный ответ дать невозможно. Ответ представляет собой алгоритм действий и результат измерения на конкретном, произвольно построенном чертеже.

Ответ: Расстояние от точки $A$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра $AH$, опущенного из точки $A$ на прямую $a$. Его значение находится путем измерения длины этого отрезка на построенном чертеже.

1. Какие углы называются внутренними односторонними, накрест лежащими углами?

2. Какие углы называются соответственными?

3. Сформулируйте и докажите 3 признака параллельности прямых.

4. Чему равна сумма внутренних углов треугольника?

5. Какие углы называются внешними углами треугольника?

6. Какие треугольники называются прямоугольными? Назовите их элементы.

7. Сформулируйте все признаки равенства прямоугольных треугольников.

8. Что такое наклонная и проекция?

9. Что означает понятие расстояние между фигурами?

1. Какие углы называются внутренними односторонними, накрест лежащими углами?

При пересечении двух прямых a и b секущей c образуется восемь углов.

На рисунке: углы 1, 2, 7, 8 - внешние; углы 3, 4, 5, 6 - внутренние.

• Внутренние накрест лежащие углы — это два угла, которые лежат во внутренней области между прямыми a и b и по разные стороны от секущей c. На рисунке это пары углов:
  • $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $
  • $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $
• Внутренние односторонние углы — это два угла, которые лежат во внутренней области между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. На рисунке это пары углов:
  • $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $
  • $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $

Ответ: Внутренние накрест лежащие углы — это углы, расположенные между двумя прямыми по разные стороны от секущей. Внутренние односторонние углы — это углы, расположенные между двумя прямыми по одну сторону от секущей.

2. Какие углы называются соответственными?

Соответственные углы — это два угла, которые лежат по одну сторону от секущей c, при этом один из них является внутренним, а другой — внешним, и они не являются смежными. Они занимают одинаковое (соответственное) положение относительно прямых a, b и секущей c.

Используя рисунок из предыдущего вопроса, соответственными являются следующие пары углов:

• $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $
• $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $
• $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $
• $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $

Ответ: Соответственными называются углы, расположенные по одну сторону от секущей, один во внутренней области, а другой во внешней, и занимающие одинаковое положение относительно пересекаемых прямых.

3. Сформулируйте и докажите 3 признака параллельности прямых.

Признаки параллельности прямых — это теоремы, позволяющие сделать вывод о параллельности двух прямых на основе равенства или определённой суммы углов, образованных при пересечении этих прямых секущей.

Признак 1: По накрест лежащим углам

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Дано: Прямые a и b, секущая c. $ \angle 1 = \angle 2 $ (где $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ — накрест лежащие углы).

Доказать: $ a \parallel b $.

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке M. Тогда точки пересечения прямых a и b с секущей c (назовем их A и B) вместе с точкой M образуют треугольник ABM.

В этом треугольнике угол $ \angle 1 $ является внешним углом, а угол $ \angle 2 $ — внутренним углом, не смежным с ним. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. То есть, $ \angle 1 > \angle 2 $.

Но это противоречит условию, что $ \angle 1 = \angle 2 $. Следовательно, наше предположение о том, что прямые пересекаются, неверно. Значит, прямые a и b не пересекаются, то есть $ a \parallel b $.

Признак 2: По соответственным углам

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.

Дано: Прямые a и b, секущая c. $ \angle 1 = \angle 2 $ (где $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ — соответственные углы).

Доказать: $ a \parallel b $.

Доказательство:

Угол $ \angle 3 $ является вертикальным с углом $ \angle 1 $, поэтому $ \angle 3 = \angle 1 $.

По условию, $ \angle 1 = \angle 2 $. Из этих двух равенств следует, что $ \angle 3 = \angle 2 $.

Углы $ \angle 3 $ и $ \angle 2 $ являются внутренними накрест лежащими. Так как они равны, то по первому признаку параллельности прямых, $ a \parallel b $.

Признак 3: По односторонним углам

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то такие прямые параллельны.

Дано: Прямые a и b, секущая c. $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $ (где $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ — внутренние односторонние углы).

Доказать: $ a \parallel b $.

Доказательство:

Угол $ \angle 3 $ является смежным с углом $ \angle 1 $, поэтому их сумма равна 180°: $ \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ $.

По условию, $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $. Сравнивая два равенства, получаем, что $ \angle 3 = \angle 2 $.

Углы $ \angle 3 $ и $ \angle 2 $ являются внутренними накрест лежащими. Так как они равны, то по первому признаку параллельности прямых, $ a \parallel b $.

Ответ: 1. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

4. Чему равна сумма внутренних углов треугольника?

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Теорема о сумме углов треугольника.

Дано: $ \triangle ABC $.

Доказать: $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.

Доказательство:

1. Проведем через вершину B прямую d, параллельную стороне AC.

2. Углы $ \angle 1 $ и $ \angle A $ (или $ \angle BAC $) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых d и AC и секущей AB. Следовательно, $ \angle 1 = \angle A $.

3. Углы $ \angle 3 $ и $ \angle C $ (или $ \angle BCA $) являются внутренними накрест лежащими при тех же параллельных прямых d и AC и секущей BC. Следовательно, $ \angle 3 = \angle C $.

4. Углы $ \angle 1, \angle B, \angle 3 $ вместе образуют развернутый угол с вершиной в точке B, поэтому их сумма равна 180°: $ \angle 1 + \angle B + \angle 3 = 180^\circ $.

5. Заменив в этом равенстве $ \angle 1 $ на $ \angle A $ и $ \angle 3 $ на $ \angle C $, получим: $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.

Ответ: Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

5. Какие углы называются внешними углами треугольника?

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из внутренних углов этого треугольника. Он образуется при продолжении одной из сторон треугольника за его вершину.

На рисунке $ \angle BCD $ — внешний угол треугольника $ \triangle ABC $ при вершине C.

Каждый треугольник имеет шесть внешних углов (по два при каждой вершине, которые равны между собой как вертикальные).

Свойство внешнего угла: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Для рисунка выше: $ \angle BCD = \angle A + \angle B $.

Ответ: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

6. Какие треугольники называются прямоугольными? Назовите их элементы.

Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90°.

Элементы прямоугольного треугольника имеют специальные названия:

• Катеты — две стороны, образующие прямой угол. На рисунке ниже это стороны a и b.
• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. На рисунке это сторона c.

Также для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($ a^2 + b^2 = c^2 $).

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним прямым углом (90°). Его элементы: два катета (стороны, образующие прямой угол) и гипотенуза (сторона напротив прямого угла).

7. Сформулируйте все признаки равенства прямоугольных треугольников.

Прямоугольные треугольники равны, если у них соответственно равны:

1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай признака равенства по двум сторонам и углу между ними, так как угол между катетами всегда 90°).
2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай признака по стороне и двум прилежащим углам, так как второй прилежащий угол — прямой).
3. По катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. (Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то из равенства одной пары острых углов следует равенство и второй пары. Признак сводится к предыдущему).
4. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. (Снова сводится к признаку по стороне и двум прилежащим углам, так как второй острый угол легко находится).
5. По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. (Этот признак доказывается с помощью теоремы Пифагора или достроением до равнобедренного треугольника).

Ответ: Признаки равенства прямоугольных треугольников: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по гипотенузе и острому углу; 4) по гипотенузе и катету. (Признак по катету и противолежащему углу обычно рассматривается как следствие).

8. Что такое наклонная и проекция?

Рассмотрим прямую l и точку A, не лежащую на этой прямой.

• Перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую l, — это отрезок AH, где H — точка на прямой l, и $ AH \perp l $. Точка H называется основанием перпендикуляра.
• Наклонная, проведенная из точки A к прямой l, — это любой отрезок AM, соединяющий точку A с любой точкой M на прямой l, отличной от H. Точка M называется основанием наклонной.
• Проекция наклонной на прямую — это отрезок HM, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной.

На рисунке: AH — перпендикуляр, AM — наклонная, HM — проекция наклонной AM на прямую l.

Ответ: Наклонная — это отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой на этой прямой, и не являющийся перпендикуляром. Проекция этой наклонной — отрезок на прямой, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из той же точки.

9. Что означает понятие расстояние между фигурами?

Расстояние между двумя фигурами (точками, прямыми, плоскостями, кривыми и т.д.) в геометрии — это длина кратчайшего из отрезков, соединяющих точки этих фигур. Если фигуры пересекаются, расстояние между ними равно нулю.

Формально, если есть две фигуры $ F_1 $ и $ F_2 $, то расстояние $ d(F_1, F_2) $ между ними определяется как наименьшее из всех возможных расстояний между точкой $ P_1 $ из $ F_1 $ и точкой $ P_2 $ из $ F_2 $.

Примеры:

• Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
• Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра (это расстояние одинаково в любой точке).
• Расстояние между двумя отрезками — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего точки этих отрезков.

Ответ: Расстояние между двумя фигурами — это длина кратчайшего отрезка, концы которого принадлежат этим фигурам.

3.1. $\angle ABC = 80^\circ$, $\angle BCD = 110^\circ$. Могут ли прямые $AB$ и $CD$ быть:

1) параллельными;

2) пересекающимися?

1) параллельными

Рассмотрим прямые AB и CD и секущую BC, которая их пересекает. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются внутренними односторонними углами, образованными при пересечении прямых AB и CD секущей BC.

Согласно признаку параллельности двух прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Вычислим сумму данных углов:

$\angle ABC + \angle BCD = 80^\circ + 110^\circ = 190^\circ$

Так как сумма углов $190^\circ$ не равна $180^\circ$ ($190^\circ \neq 180^\circ$), то прямые AB и CD не могут быть параллельными.

Ответ: нет, не могут.

2) пересекающимися

В евклидовой геометрии две различные прямые на плоскости могут либо быть параллельными, либо пересекаться в одной точке. Третьего варианта их взаимного расположения нет.

Как было доказано в первом пункте, прямые AB и CD не являются параллельными.

Следовательно, они должны пересекаться.

Ответ: да, могут.