Страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Ответьте на вопрос упражнения 3.1, если $\angle ABC = 65^\circ$ и $\angle BCD = 105^\circ$.

Предположим, что в упражнении 3.1 ставится вопрос о взаимном расположении прямых, содержащих отрезки AB и CD. Для ответа на этот вопрос рассмотрим прямые AB и CD и секущую BC, которая их пересекает.

Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются внутренними односторонними углами при прямых AB и CD и секущей BC.

Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые параллельны, то сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей равна $180^\circ$. Проверим это условие для данных углов.

Найдем сумму углов $\angle ABC$ и $\angle BCD$: $\angle ABC + \angle BCD = 65^\circ + 105^\circ = 170^\circ$.

Так как сумма внутренних односторонних углов не равна $180^\circ$: $170^\circ \neq 180^\circ$, то прямые AB и CD не являются параллельными.

Две прямые на плоскости, которые не параллельны, обязательно пересекаются. Таким образом, прямые AB и CD пересекаются.

Ответ: прямые, содержащие отрезки AB и CD, не параллельны, они пересекаются.

3.3. Разность двух внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна $50^\circ$. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые, пересеченные третьей прямой (секущей). Обозначим искомые внутренние односторонние углы как $\alpha$ и $\beta$.

По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей всегда равна 180°. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Из условия задачи известно, что разность этих углов равна 50°. Запишем второе уравнение. Пусть $\alpha$ будет большим углом, тогда:

$\alpha - \beta = 50^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 50^\circ \end{cases} $

Для решения этой системы можно сложить два уравнения. Это позволит исключить переменную $\beta$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 50^\circ$

$2\alpha = 230^\circ$

Теперь найдем значение $\alpha$:

$\alpha = \frac{230^\circ}{2} = 115^\circ$

Подставим найденное значение $\alpha$ в первое уравнение системы, чтобы найти $\beta$:

$115^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 115^\circ$

$\beta = 65^\circ$

Таким образом, мы нашли два угла. Проверим, удовлетворяют ли они условию задачи: их разность должна быть 50°.

$115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$

Условие выполняется.

Ответ: 115° и 65°.

3.4. Разность двух внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна $30^\circ$. Найдите эти углы.

Обозначим искомые внутренние односторонние углы как $\alpha$ и $\beta$.

По свойству углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Это дает нам первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, разность этих углов равна $30^\circ$. Предположим, что $\alpha$ — больший угол. Тогда второе уравнение будет:

$\alpha - \beta = 30^\circ$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 30^\circ \end{cases} $

Сложим оба уравнения, чтобы найти $\alpha$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 30^\circ$

$2\alpha = 210^\circ$

$\alpha = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ$

Теперь, зная $\alpha$, найдем $\beta$, подставив найденное значение в первое уравнение:

$105^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 105^\circ$

$\beta = 75^\circ$

Проверим полученные значения: сумма углов $105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$, а их разность $105^\circ - 75^\circ = 30^\circ$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: искомые углы равны $75^\circ$ и $105^\circ$.

3.5. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна $150^\circ$. Чему равны эти углы?

Согласно свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (секущей), равны между собой.

Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — это два искомых внутренних накрест лежащих угла.

Исходя из вышеупомянутого свойства, мы можем утверждать, что $\angle 1 = \angle 2$.

По условию задачи, сумма этих углов равна $150^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 150^\circ$

Поскольку углы равны, мы можем заменить $\angle 2$ на $\angle 1$ в этом уравнении:

$\angle 1 + \angle 1 = 150^\circ$

$2 \cdot \angle 1 = 150^\circ$

Теперь найдем величину одного угла:

$\angle 1 = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Так как $\angle 1 = \angle 2$, то $\angle 2$ также равен $75^\circ$.

Ответ: каждый из этих углов равен $75^\circ$.

3.6. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется восемь углов. Эти углы можно разделить на две группы равных между собой углов: все острые углы равны, и все тупые углы равны. Сумма любого острого и любого тупого угла в данном случае составляет $180^\circ$, так как они являются либо смежными, либо односторонними.

По условию, один из углов равен $72^\circ$. Этот угол является острым, поскольку его градусная мера меньше $90^\circ$. Это означает, что все четыре острых угла, которые образуются при пересечении, равны $72^\circ$.

Остальные четыре угла являются тупыми. Чтобы найти их величину, вычтем из $180^\circ$ величину известного острого угла:

$180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$

Следовательно, все четыре тупых угла равны $108^\circ$.

Итак, из восьми образовавшихся углов четыре равны $72^\circ$ и четыре равны $108^\circ$. Поскольку один угол в $72^\circ$ нам уже дан, то остальные семь углов — это три угла по $72^\circ$ и четыре угла по $108^\circ$.

Ответ: три угла по $72^\circ$ и четыре угла по $108^\circ$.

3.7. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен $30^\circ$. Может ли один из остальных семи углов равняться $70^\circ$?

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется восемь углов. Эти углы связаны между собой определенными соотношениями. Согласно свойствам углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, все образованные углы могут принимать только два значения.

Часть углов будет равна данному углу (это вертикальные, накрест лежащие и соответственные углы). Другая часть углов будет дополнять данный угол до $180^\circ$ (это смежные и односторонние углы).

По условию задачи, один из углов равен $30^\circ$. Следовательно, каждый из остальных семи углов может быть либо равен $30^\circ$, либо его величина будет вычисляться как разность $180^\circ$ и $30^\circ$.

Найдем величину второго возможного угла: $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, все восемь углов, образованных при пересечении, могут быть равны только $30^\circ$ или $150^\circ$. Поскольку $70^\circ$ не равно ни $30^\circ$, ни $150^\circ$, то ни один из остальных углов не может равняться $70^\circ$.

Ответ: Нет, не может.

3.8. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые, пересеченные третьей прямой (секущей). Обозначим накрест лежащие углы, о которых идет речь в задаче, как $∠1$ и $∠2$.

Согласно свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны между собой. Следовательно, мы можем записать равенство:

$∠1 = ∠2$

По условию задачи, сумма этих углов составляет $210°$:

$∠1 + ∠2 = 210°$

Поскольку углы равны, мы можем подставить $∠1$ вместо $∠2$ в уравнение суммы:

$∠1 + ∠1 = 210°$

$2 \cdot ∠1 = 210°$

Чтобы найти величину одного угла, разделим сумму на 2:

$∠1 = \frac{210°}{2} = 105°$

Так как $∠1 = ∠2$, то второй угол также равен $105°$.

Ответ: каждый из накрест лежащих углов равен 105°.

3.9. На рисунке 3.13 прямые $a$, $b$ и $c$ пересечены секущей $d$.$\angle 1 = 42^\circ$, $\angle 2 = 140^\circ$, $\angle 3 = 138^\circ$. Какие из прямых $a$, $b$ и $c$ параллельны?

Рис. 3.13

Для того чтобы определить, какие из прямых параллельны, необходимо поочередно проверить каждую пару прямых (a и b, b и c, a и c), используя признаки параллельности двух прямых, пересеченных секущей. Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей:

• сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$;
• накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны.

Проверка параллельности прямых a и b

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых a и b секущей d. Если прямые a и b параллельны, то сумма этих углов должна быть равна $180^\circ$.

Найдем сумму углов $\angle 1$ и $\angle 2$:

$\angle 1 + \angle 2 = 42^\circ + 140^\circ = 182^\circ$

Поскольку сумма углов не равна $180^\circ$ ($182^\circ \neq 180^\circ$), то прямые a и b не являются параллельными.

Ответ: прямые a и b не параллельны.

Проверка параллельности прямых b и c

Для прямых b и c используем признак равенства накрест лежащих углов. Угол $\angle 3$ является внутренним углом. Найдем накрест лежащий ему угол, который находится между прямыми b и c по другую сторону от секущей d. Обозначим этот угол как $\angle 4$. Угол $\angle 4$ является смежным с углом $\angle 2$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

Теперь сравним накрест лежащие углы $\angle 3$ и $\angle 4$. Если бы они были равны, прямые b и c были бы параллельны.

$\angle 3 = 138^\circ$, а $\angle 4 = 40^\circ$.

Поскольку $138^\circ \neq 40^\circ$, то прямые b и c не являются параллельными.

Ответ: прямые b и c не параллельны.

Проверка параллельности прямых a и c

Для прямых a и c используем признак равенства соответственных углов. Угол $\angle 1 = 42^\circ$ является внутренним углом. Найдем соответственный ему угол на прямой c. Обозначим его $\angle 5$. Этот угол расположен над прямой c и справа от секущей d. Угол $\angle 5$ и угол $\angle 3$ являются смежными.

Найдем величину угла $\angle 5$:

$\angle 5 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$

Теперь сравним соответственные углы $\angle 1$ и $\angle 5$.

$\angle 1 = 42^\circ$ и $\angle 5 = 42^\circ$.

Поскольку соответственные углы равны ($\angle 1 = \angle 5$), то прямые a и c параллельны.

Ответ: прямые a и c параллельны.

3.10. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$, если:

1) один из углов равен $150^\circ$;

2) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых a и b секущей c образуется 8 углов. Все эти углы можно разделить на две группы равных между собой углов (вертикальные, соответственные, накрест лежащие). Любой угол из одной группы и любой угол из другой группы являются смежными или односторонними, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, при пересечении образуются углы только двух различных величин, $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из углов равен 150°

Пусть один из образовавшихся углов равен $150^\circ$. Этот угол является тупым. Обозначим его величину как $\beta = 150^\circ$.

Смежный с ним угол (и любой другой острый угол) будет иметь величину $\alpha$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Таким образом, при пересечении образуются четыре угла, равных $150^\circ$, и четыре угла, равных $30^\circ$.

Ответ: Четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.

2) один из углов на 70° больше другого

Пусть меньший из двух видов углов равен $\alpha$, а больший — $\beta$.

Из условия задачи известно, что один угол на $70^\circ$ больше другого. Запишем это в виде уравнения:

$\beta = \alpha + 70^\circ$

Как было сказано ранее, сумма этих двух различных углов равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим выражение для $\beta$ из первого уравнения во второе:

$\alpha + (\alpha + 70^\circ) = 180^\circ$

$2\alpha + 70^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 70^\circ$

$2\alpha = 110^\circ$

$\alpha = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Теперь найдем величину второго угла $\beta$:

$\beta = \alpha + 70^\circ = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$

Следовательно, при пересечении образуются четыре острых угла по $55^\circ$ и четыре тупых угла по $125^\circ$.

Ответ: Четыре угла по $55^\circ$ и четыре угла по $125^\circ$.

3.11. Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.

1. Свойства прямоугольного треугольника: По определению, в прямоугольном треугольнике один из углов является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

2. Свойства равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Углы, лежащие против этих равных сторон (углы при основании), также равны между собой. В прямоугольном треугольнике равными сторонами могут быть только катеты, так как гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Следовательно, два острых угла такого треугольника равны.

3. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма всех трёх внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Обозначим равные острые углы как $\alpha$. Тогда, согласно вышеизложенному, углы нашего треугольника будут равны $\alpha$, $\alpha$ и $90^\circ$.

Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$\alpha + \alpha + 90^\circ = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $\alpha$:

$2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 90^\circ$

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = \frac{90^\circ}{2}$

$\alpha = 45^\circ$

Таким образом, два острых угла в прямоугольном равнобедренном треугольнике равны по $45^\circ$ каждый, а третий угол — прямой, $90^\circ$.

Ответ: углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$.

3.12. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$, $AB = 32$ см.

Найдите AC.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. В этом треугольнике $AB$ — это гипотенуза (сторона, лежащая напротив прямого угла), а $AC$ и $BC$ — катеты.

Нам нужно найти длину катета $AC$. Этот катет является прилежащим к известному углу $\angle A = 60^\circ$. Гипотенуза $AB$ также известна и равна $32$ см.

Связь между прилежащим катетом, гипотенузой и острым углом в прямоугольном треугольнике устанавливается через тригонометрическую функцию косинус. Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$

Чтобы найти длину катета $AC$, выразим его из этой формулы:

$AC = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения: $AB = 32$ см и $\angle A = 60^\circ$. Значение косинуса $60^\circ$ — это стандартная величина, равная $\frac{1}{2}$.

Выполним вычисления:

$AC = 32 \cdot \cos(60^\circ) = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.

3.13. Сумма внешних углов треугольника ABC при вершинах A и B, взятых по одному для каждой вершины, равна $240^\circ$. Найдите угол C.

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Через связь внешних и внутренних углов

Внешний угол треугольника при любой вершине и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Обозначим внутренние углы треугольника как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Внешние углы при вершинах A и B обозначим как $\angle A_{внешн}$ и $\angle B_{внешн}$ соответственно.

Таким образом, справедливы равенства:

$\angle A_{внешн} = 180^\circ - \angle A$

$\angle B_{внешн} = 180^\circ - \angle B$

По условию задачи сумма этих внешних углов равна $240^\circ$:

$\angle A_{внешн} + \angle B_{внешн} = 240^\circ$

Подставим в это уравнение выражения для внешних углов:

$(180^\circ - \angle A) + (180^\circ - \angle B) = 240^\circ$

$360^\circ - (\angle A + \angle B) = 240^\circ$

Из этого уравнения найдем сумму внутренних углов $\angle A$ и $\angle B$:

$\angle A + \angle B = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Так как сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$), мы можем найти искомый угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Способ 2: Через теорему о сумме внешних углов треугольника

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (и треугольника в частности), взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

$\angle A_{внешн} + \angle B_{внешн} + \angle C_{внешн} = 360^\circ$

В условии сказано, что сумма внешних углов при вершинах A и B равна $240^\circ$. Подставим это значение в теорему:

$240^\circ + \angle C_{внешн} = 360^\circ$

Отсюда легко найти внешний угол при вершине C:

$\angle C_{внешн} = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Внутренний угол $\angle C$ и внешний угол $\angle C_{внешн}$ являются смежными, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle C_{внешн} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $60^\circ$.