Номер 3.10, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$, если:

1) один из углов равен $150^\circ$;

2) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых a и b секущей c образуется 8 углов. Все эти углы можно разделить на две группы равных между собой углов (вертикальные, соответственные, накрест лежащие). Любой угол из одной группы и любой угол из другой группы являются смежными или односторонними, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, при пересечении образуются углы только двух различных величин, $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из углов равен 150°

Пусть один из образовавшихся углов равен $150^\circ$. Этот угол является тупым. Обозначим его величину как $\beta = 150^\circ$.

Смежный с ним угол (и любой другой острый угол) будет иметь величину $\alpha$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Таким образом, при пересечении образуются четыре угла, равных $150^\circ$, и четыре угла, равных $30^\circ$.

Ответ: Четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.

2) один из углов на 70° больше другого

Пусть меньший из двух видов углов равен $\alpha$, а больший — $\beta$.

Из условия задачи известно, что один угол на $70^\circ$ больше другого. Запишем это в виде уравнения:

$\beta = \alpha + 70^\circ$

Как было сказано ранее, сумма этих двух различных углов равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим выражение для $\beta$ из первого уравнения во второе:

$\alpha + (\alpha + 70^\circ) = 180^\circ$

$2\alpha + 70^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 70^\circ$

$2\alpha = 110^\circ$

$\alpha = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Теперь найдем величину второго угла $\beta$:

$\beta = \alpha + 70^\circ = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$

Следовательно, при пересечении образуются четыре острых угла по $55^\circ$ и четыре тупых угла по $125^\circ$.

Ответ: Четыре угла по $55^\circ$ и четыре угла по $125^\circ$.