Номер 3.13, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Сумма внешних углов треугольника ABC при вершинах A и B, взятых по одному для каждой вершины, равна $240^\circ$. Найдите угол C.

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Через связь внешних и внутренних углов

Внешний угол треугольника при любой вершине и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Обозначим внутренние углы треугольника как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Внешние углы при вершинах A и B обозначим как $\angle A_{внешн}$ и $\angle B_{внешн}$ соответственно.

Таким образом, справедливы равенства:

$\angle A_{внешн} = 180^\circ - \angle A$

$\angle B_{внешн} = 180^\circ - \angle B$

По условию задачи сумма этих внешних углов равна $240^\circ$:

$\angle A_{внешн} + \angle B_{внешн} = 240^\circ$

Подставим в это уравнение выражения для внешних углов:

$(180^\circ - \angle A) + (180^\circ - \angle B) = 240^\circ$

$360^\circ - (\angle A + \angle B) = 240^\circ$

Из этого уравнения найдем сумму внутренних углов $\angle A$ и $\angle B$:

$\angle A + \angle B = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Так как сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$), мы можем найти искомый угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Способ 2: Через теорему о сумме внешних углов треугольника

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (и треугольника в частности), взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

$\angle A_{внешн} + \angle B_{внешн} + \angle C_{внешн} = 360^\circ$

В условии сказано, что сумма внешних углов при вершинах A и B равна $240^\circ$. Подставим это значение в теорему:

$240^\circ + \angle C_{внешн} = 360^\circ$

Отсюда легко найти внешний угол при вершине C:

$\angle C_{внешн} = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Внутренний угол $\angle C$ и внешний угол $\angle C_{внешн}$ являются смежными, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle C_{внешн} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $60^\circ$.