Номер 3.14, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. У треугольника один из внутренних углов равен $30^\circ$, а один из внешних углов равен $40^\circ$. Найдите остальные внутренние углы треугольника.

Обозначим внутренние углы треугольника как $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма равна $ 180^\circ $: $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $.

По условию задачи, один из внутренних углов равен $ 30^\circ $. Пусть это будет $ \alpha = 30^\circ $.

Также известно, что один из внешних углов равен $ 40^\circ $. Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов.

Рассмотрим, с каким внутренним углом может быть смежен данный внешний угол. Сумма внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла всегда равна $ 180^\circ $.

Если бы внешний угол в $ 40^\circ $ был смежен с известным внутренним углом $ \alpha = 30^\circ $, их сумма была бы $ 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ $, что не равно $ 180^\circ $. Следовательно, этот случай невозможен.

Это означает, что внешний угол в $ 40^\circ $ смежен с одним из двух других неизвестных углов, например, с углом $ \beta $.

Теперь мы можем найти величину угла $ \beta $. Так как он смежен с внешним углом в $ 40^\circ $, их сумма равна $ 180^\circ $: $ \beta + 40^\circ = 180^\circ $

$ \beta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ $.

Мы нашли второй внутренний угол: $ \beta = 140^\circ $. Теперь, зная два угла ($ \alpha = 30^\circ $ и $ \beta = 140^\circ $), мы можем найти третий угол $ \gamma $, используя теорему о сумме углов треугольника: $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

$ 30^\circ + 140^\circ + \gamma = 180^\circ $

$ 170^\circ + \gamma = 180^\circ $

$ \gamma = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ $.

Итак, остальные внутренние углы треугольника равны $ 140^\circ $ и $ 10^\circ $.

Проверка: Можно было решить задачу, используя свойство, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае внешний угол при вершине $ \beta $ ($ 40^\circ $) равен сумме углов $ \alpha $ и $ \gamma $.

$ 40^\circ = \alpha + \gamma $

Подставляем известное значение $ \alpha = 30^\circ $:

$ 40^\circ = 30^\circ + \gamma $

$ \gamma = 10^\circ $.

Затем находим $ \beta $ из суммы всех углов: $ \beta = 180^\circ - (30^\circ + 10^\circ) = 140^\circ $.

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $140^\circ$ и $10^\circ$.