Номер 3.17, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен:

1) $40^\circ$

2) $60^\circ$

3) $100^\circ$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Рассмотрим все возможные случаи для каждого пункта.

1) Дан угол $40^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $40^\circ$.

Тогда на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Каждый из углов при основании равен $140^\circ / 2 = 70^\circ$.

Углы треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $40^\circ$.

Тогда второй угол при основании также равен $40^\circ$.

Угол при вершине равен $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Углы треугольника: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ или $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

2) Дан угол $60^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $60^\circ$.

Тогда на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Каждый из углов при основании равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним.

Случай Б: Угол при основании равен $60^\circ$.

Тогда второй угол при основании также равен $60^\circ$.

Угол при вершине равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$.

В обоих случаях получается равносторонний треугольник с углами по $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

3) Дан угол $100^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $100^\circ$.

Тогда на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Каждый из углов при основании равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Углы треугольника: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $100^\circ$.

В треугольнике не может быть два тупых угла, так как их сумма ($100^\circ + 100^\circ = 200^\circ$) уже превышает $180^\circ$. Следовательно, угол при основании не может быть равен $100^\circ$. Этот случай невозможен.

Ответ: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.