Номер 3.22, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 8, 5. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию задачи, величины этих углов пропорциональны числам 3, 8 и 5. Это означает, что мы можем представить углы в виде:

$\alpha = 3x$

$\beta = 8x$

$\gamma = 5x$

Здесь $x$ — это коэффициент пропорциональности, который представляет собой одну "часть" от общей суммы углов.

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Используя это свойство, мы можем составить уравнение:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Теперь подставим выражения для углов через $x$ в это уравнение:

$3x + 8x + 5x = 180^\circ$

Сложим все части, чтобы найти общее количество "частей":

$16x = 180^\circ$

Теперь решим уравнение, чтобы найти, скольким градусам равна одна "часть" ($x$):

$x = \frac{180^\circ}{16} = \frac{45^\circ}{4} = 11.25^\circ$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем вычислить точную величину каждого угла треугольника:

Первый угол: $\alpha = 3x = 3 \cdot 11.25^\circ = 33.75^\circ$

Второй угол: $\beta = 8x = 8 \cdot 11.25^\circ = 90^\circ$

Третий угол: $\gamma = 5x = 5 \cdot 11.25^\circ = 56.25^\circ$

Треугольник является прямоугольным, если один из его углов равен $90^\circ$. В нашем расчете мы получили, что один из углов (угол $\beta$) равен ровно $90^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: Углы треугольника равны $33.75^\circ$, $90^\circ$ и $56.25^\circ$. Так как один из углов равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.