Номер 3.28, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Для доказательства утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC$, а $AB$ является основанием.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Обозначим величину этих углов через $\alpha$:

$\angle CAB = \angle CBA = \alpha$.

Рассмотрим внешний угол при вершине $C$. Для этого продлим сторону $BC$ за точку $C$ до точки $D$. Угол $\angle ACD$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ACD = \angle CAB + \angle CBA = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Пусть $CE$ — биссектриса внешнего угла $\angle ACD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle ACE = \frac{\angle ACD}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Теперь сравним угол $\angle ACE$ с углом $\angle CAB$. Мы видим, что $\angle ACE = \alpha$ и $\angle CAB = \alpha$, следовательно, $\angle ACE = \angle CAB$.

Эти два угла являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $CE$ и $AB$ секущей $AC$.

По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как $\angle ACE = \angle CAB$, то прямая $CE$ параллельна прямой $AB$.

Таким образом, биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.