Номер 3.32, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.32. Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом $45^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$ — его острые углы.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника сумма острых углов равна:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Проведем биссектрисы острых углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центром вписанной окружности, но для решения это не обязательно.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный биссектрисами и стороной $AB$.

Поскольку $AO$ — биссектриса угла $A$, то $\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $BO$ — биссектриса угла $B$, то $\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Найдем сумму этих двух углов в треугольнике $AOB$:

$\angle OAB + \angle OBA = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$

Мы уже установили, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в выражение:

$\angle OAB + \angle OBA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$. Теперь мы можем найти угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)$

$\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Угол $\angle AOB = 135^\circ$ — это один из углов, под которым пересекаются биссектрисы. Этот угол является тупым. Углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать острый угол. Острый угол будет смежным с углом $\angle AOB$ и равен:

$180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Таким образом, доказано, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом $45^\circ$.

Ответ: Острый угол, образованный при пересечении биссектрис острых углов прямоугольного треугольника, равен $45^\circ$.