Номер 3.31, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.31. Найдите углы прямоугольного треугольника, если его высота, проведенная из вершины прямого угла, образует с катетом угол $50^{\circ}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Из вершины прямого угла $C$ проведем высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, поэтому $\angle CHA = 90^\circ$. Таким образом, высота $CH$ делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Согласно условию задачи, высота $CH$ образует с одним из катетов угол $50^\circ$. Предположим, что этот угол образован с катетом $AC$, то есть $\angle ACH = 50^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол $A$ исходного треугольника:

$\angle A = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим исходный прямоугольный треугольник $ABC$. Мы знаем, что $\angle C = 90^\circ$ и мы нашли, что $\angle A = 40^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ABC$ также равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Таким образом, углы искомого треугольника равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.

(Если бы мы предположили, что высота образует угол $50^\circ$ с катетом $BC$, то есть $\angle BCH = 50^\circ$, то аналогичные расчеты в $\triangle BCH$ дали бы $\angle B = 40^\circ$, а затем для $\triangle ABC$ мы бы получили $\angle A = 50^\circ$. Набор углов треугольника остался бы тем же).

Ответ: углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.