Номер 3.34, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. В треугольнике $ABC$ медиана $AD$ равна половине стороны $BC$. Докажите, что $\Delta ABC$ — прямоугольный.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AD$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. По условию задачи, длина медианы $AD$ равна половине длины стороны $BC$, то есть, $AD = \frac{1}{2}BC$.

Доказательство

1. Так как $AD$ — медиана, то точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Это означает, что она делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BD = DC$.

2. Из определения середины отрезка также следует, что $BD = DC = \frac{1}{2}BC$.

3. По условию задачи нам дано, что $AD = \frac{1}{2}BC$.

4. Сопоставляя равенства из пунктов 2 и 3, мы приходим к выводу, что $AD = BD = DC$.

5. Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AD = BD$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle{BAD} = \angle{ABD}$ (или $\angle{B}$). Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Поскольку $AD = DC$, этот треугольник также является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle{CAD} = \angle{ACD}$ (или $\angle{C}$). Обозначим величину этих углов через $\beta$.

7. Угол $\angle{BAC}$ треугольника $ABC$ является суммой углов $\angle{BAD}$ и $\angle{CAD}$. Таким образом, $\angle{BAC} = \alpha + \beta$.

8. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle{BAC} + \angle{B} + \angle{C} = 180^\circ$

9. Подставим в это уравнение выражения для углов через $\alpha$ и $\beta$ из предыдущих пунктов:

$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

10. Так как $\angle{BAC} = \alpha + \beta$, из последнего равенства следует, что $\angle{BAC} = 90^\circ$.

Поскольку один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как угол $\angle{BAC}$ равен $90^\circ$.