Номер 3.40, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. На рисунке 3.16 $CE = ED$, $BE = EF$ и $KE \parallel AD$. Докажите, что $KE \parallel BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник BDFC. По условию, точка E является серединой отрезка CD ($CE = ED$) и серединой отрезка BF ($BE = EF$). Таким образом, диагонали CD и BF четырехугольника BDFC пересекаются в точке E и делятся ею пополам.

Свойство параллелограмма гласит, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, BDFC является параллелограммом.

Из того, что BDFC — параллелограмм, следует, что его противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона BC параллельна стороне DF. Запишем это как $BC \parallel DF$.

2. Теперь воспользуемся вторым условием задачи: $KE \parallel AD$.

В задачах такого типа, ссылающихся на конкретный рисунок (в данном случае, рисунок 3.16), предполагается определенное взаимное расположение точек, которое не оговорено в тексте, но видно на чертеже. В стандартной конфигурации для данной задачи точки A, F, D лежат на одной прямой. Это означает, что прямые AD и DF совпадают.

Таким образом, мы можем заменить прямую AD на прямую DF в условии $KE \parallel AD$. Получаем, что $KE \parallel DF$.

3. Теперь объединим полученные результаты.

• Из пункта 1 мы имеем: $BC \parallel DF$.
• Из пункта 2 мы имеем: $KE \parallel DF$.

Поскольку две прямые ($KE$ и $BC$) параллельны одной и той же третьей прямой ($DF$), они параллельны между собой. Следовательно, $KE \parallel BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.