Страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла B, опущены перпендикуляры DA и DC на стороны угла. Докажите, что $DA = DC$.

Для доказательства равенства отрезков $DA$ и $DC$ рассмотрим треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $.

По условию задачи, из точки $D$ на стороны угла $B$ опущены перпендикуляры $DA$ и $DC$. Это означает, что $DA$ перпендикулярно стороне, на которую опущен (обозначим ее $BA$), и $DC$ перпендикулярно другой стороне (обозначим ее $BC$). Следовательно, углы $ \angle DAB $ и $ \angle DCB $ являются прямыми: $ \angle DAB = \angle DCB = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $ — прямоугольные.

Также по условию, точка $D$ лежит на биссектрисе угла $B$. Это означает, что луч $BD$ делит угол $B$ пополам, то есть острые углы в рассматриваемых треугольниках равны: $ \angle ABD = \angle CBD $.

Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников и служит им гипотенузой.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника ($ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $), у которых:

1. Равны гипотенузы ($BD$ — общая).

2. Равны прилежащие к гипотенузе острые углы ($ \angle ABD = \angle CBD $).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $ \triangle DAB \cong \triangle DCB $ следует равенство их соответствующих сторон. Катет $DA$ треугольника $ \triangle DAB $ соответствует катету $DC$ треугольника $ \triangle DCB $.

Таким образом, $DA = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $DA = DC$ следует из равенства прямоугольных треугольников $ \triangle DAB $ и $ \triangle DCB $. Эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), так как у них общая гипотенуза $BD$ и равные острые углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$ (поскольку $BD$ является биссектрисой угла $B$).

3.39. Докажите, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют $180^\circ$.

Пусть даны два угла, $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_1$, стороны которых соответственно параллельны: луч $OA$ параллелен лучу $O_1A_1$, а луч $OB$ параллелен лучу $O_1B_1$. Параллельность лучей означает, что они лежат на параллельных прямых. При этом лучи могут быть направлены в одну сторону (сонаправлены) или в противоположные стороны (противоположно направлены). Рассмотрим все возможные случаи.

Для доказательства воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Перенесем угол $\angle AOB$ параллельно так, чтобы его вершина $O$ совпала с вершиной $O_1$ угла $\angle A_1O_1B_1$. При параллельном переносе величина угла сохраняется. Таким образом, нам нужно доказать утверждение для углов с общей вершиной.

Пусть теперь у нас есть два угла с общей вершиной $O$: $\angle AOB$ и $\angle A_1OB_1$, где $OA \parallel OA_1$ и $OB \parallel OB_1$.

Случай 1: Обе пары сторон сонаправлены.

Это означает, что луч $OA$ совпадает с лучом $OA_1$, а луч $OB$ совпадает с лучом $OB_1$. В этом случае углы полностью совпадают, а значит, они равны: $\angle AOB = \angle A_1OB_1$.

Случай 2: Обе пары сторон противоположно направлены.

В этом случае луч $OA_1$ является дополнением к лучу $OA$ (направлен в противоположную сторону), и луч $OB_1$ является дополнением к лучу $OB$. Угол $\angle A_1OB_1$ является вертикальным к углу $\angle AOB$. Как известно, вертикальные углы равны. Следовательно, $\angle AOB = \angle A_1OB_1$.

Случай 3: Одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена.

Без ограничения общности, предположим, что лучи $OA$ и $OA_1$ сонаправлены (и, следовательно, совпадают), а лучи $OB$ и $OB_1$ противоположно направлены. Тогда лучи $OB$ и $OB_1$ вместе образуют прямую. Углы $\angle AOB$ и $\angle A_1OB_1$ (который в данном случае равен $\angle AOB_1$) являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AOB + \angle A_1OB_1 = 180^\circ$.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения углов с соответственно параллельными сторонами и показали, что такие углы либо равны (если обе пары соответствующих сторон сонаправлены или обе пары противоположно направлены), либо их сумма составляет $180^\circ$ (если одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена).

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

3.40. На рисунке 3.16 $CE = ED$, $BE = EF$ и $KE \parallel AD$. Докажите, что $KE \parallel BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник BDFC. По условию, точка E является серединой отрезка CD ($CE = ED$) и серединой отрезка BF ($BE = EF$). Таким образом, диагонали CD и BF четырехугольника BDFC пересекаются в точке E и делятся ею пополам.

Свойство параллелограмма гласит, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, BDFC является параллелограммом.

Из того, что BDFC — параллелограмм, следует, что его противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона BC параллельна стороне DF. Запишем это как $BC \parallel DF$.

2. Теперь воспользуемся вторым условием задачи: $KE \parallel AD$.

В задачах такого типа, ссылающихся на конкретный рисунок (в данном случае, рисунок 3.16), предполагается определенное взаимное расположение точек, которое не оговорено в тексте, но видно на чертеже. В стандартной конфигурации для данной задачи точки A, F, D лежат на одной прямой. Это означает, что прямые AD и DF совпадают.

Таким образом, мы можем заменить прямую AD на прямую DF в условии $KE \parallel AD$. Получаем, что $KE \parallel DF$.

3. Теперь объединим полученные результаты.

• Из пункта 1 мы имеем: $BC \parallel DF$.
• Из пункта 2 мы имеем: $KE \parallel DF$.

Поскольку две прямые ($KE$ и $BC$) параллельны одной и той же третьей прямой ($DF$), они параллельны между собой. Следовательно, $KE \parallel BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.41. Прямая, проходящая через середину биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ перпендикулярно $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $KD \parallel AB$.

Пусть $M$ — середина биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$. По условию задачи, прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Прямая, содержащая отрезок $MK$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AD$, так как она проходит через его середину $M$ и перпендикулярна ему.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$, следовательно, расстояния от точки $K$ до точек $A$ и $D$ равны: $AK = KD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AKD$. Поскольку две его стороны равны ($AK = KD$), он является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle KDA = \angle KAD$.

Из условия известно, что $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $\angle BAD = \angle CAD$. Так как точка $K$ лежит на луче $AC$, то угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle KAD$. Таким образом, мы имеем равенство $\angle BAD = \angle KAD$.

Мы получили два ключевых равенства:

1. $\angle KDA = \angle KAD$ (из свойств равнобедренного треугольника $AKD$).

2. $\angle BAD = \angle KAD$ (из определения биссектрисы).

Из этих двух равенств следует, что $\angle KDA = \angle BAD$.

Углы $\angle KDA$ и $\angle BAD$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $KD$ и $AB$ секущей $AD$. Так как мы доказали, что эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $KD$ и $AB$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.42. Могут ли биссектрисы двух углов прямоугольного треугольника пересекаться под углом $40^\circ$?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), а два других угла — $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$ — острые. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для прямоугольного треугольника справедливо соотношение $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, из которого следует, что сумма острых углов равна $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Рассмотрим все возможные случаи пересечения биссектрис двух углов этого треугольника. Угол пересечения двух прямых определяется как наименьший (острый) из углов, образованных при их пересечении. Проверим, может ли этот угол быть равен $40^\circ$.

Случай 1: Пересечение биссектрис двух острых углов ($\angle A$ и $\angle B$)

Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $I$. Эти биссектрисы вместе со стороной $AB$ образуют треугольник $AIB$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов треугольника $ABC$: $\angle IAB = \alpha/2$ и $\angle IBA = \beta/2$. Третий угол, $\angle AIB$, является одним из углов пересечения биссектрис. Найдем его величину, зная, что сумма углов в треугольнике $AIB$ равна $180^\circ$: $\angle AIB = 180^\circ - (\angle IAB + \angle IBA) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Поскольку $\alpha + \beta = 90^\circ$, мы можем подставить это значение в формулу: $\angle AIB = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, один из углов пересечения равен $135^\circ$. Смежный с ним угол, который является острым углом пересечения, равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. В этом случае угол пересечения биссектрис всегда равен $45^\circ$, что не равно $40^\circ$.

Случай 2: Пересечение биссектрисы прямого угла ($\angle C$) и биссектрисы одного из острых углов (например, $\angle A$)

Пусть биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle A$ пересекаются в точке $J$. Они образуют треугольник $AJC$. Углы этого треугольника равны: $\angle JCA = \angle C / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$ и $\angle JAC = \angle A / 2 = \alpha/2$. Найдем угол $\angle AJC$ из суммы углов треугольника $AJC$: $\angle AJC = 180^\circ - (\angle JCA + \angle JAC) = 180^\circ - (45^\circ + \frac{\alpha}{2}) = 135^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Угол $\alpha$ является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому его значение лежит в пределах $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Соответственно, для его половины имеем $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$. Это позволяет нам найти диапазон возможных значений для угла $\angle AJC$: $135^\circ - 45^\circ < \angle AJC < 135^\circ - 0^\circ$, что дает $90^\circ < \angle AJC < 135^\circ$.

Как видим, угол $\angle AJC$ всегда является тупым. Острый угол пересечения $\theta$ будет смежным с ним: $\theta = 180^\circ - \angle AJC = 180^\circ - (135^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 45^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Используя ограничение $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$, найдем диапазон для острого угла пересечения $\theta$: $45^\circ + 0^\circ < \theta < 45^\circ + 45^\circ$, что дает $45^\circ < \theta < 90^\circ$.

Следовательно, острый угол пересечения биссектрис прямого и острого углов всегда строго больше $45^\circ$ и меньше $90^\circ$. Он не может быть равен $40^\circ$. Рассмотрение пары биссектрис углов $\angle B$ и $\angle C$ полностью аналогично и приводит к такому же выводу.

Вывод

Мы рассмотрели все три возможных варианта пересечения биссектрис двух углов в прямоугольном треугольнике и показали, что ни в одном из них угол пересечения не может быть равен $40^\circ$.

Ответ: Нет, не могут.

3.43*. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению, приведенному в примере 2 на стр 42.

Задача состоит в том, чтобы сформулировать и доказать утверждение, обратное тому, что приведено в примере 2 на стр. 42 (в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и др. для 7-9 классов).

Исходное утверждение:«Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой».

Это утверждение является свойством транзитивности параллельности прямых. Если записать его в виде логического следования для трех прямых $a, b, c$: Если ($a \parallel c$ и $b \parallel c$), то ($a \parallel b$).

Строгое логическое обращение этого утверждения («Если $a \parallel b$, то $a \parallel c$ и $b \parallel c$») является неверным в общем случае, поскольку для двух параллельных прямых $a$ и $b$ всегда можно построить секущую прямую $c$, которая не будет им параллельна.

В курсе геометрии в качестве «обратного» для данного утверждения традиционно рассматривают другое важное следствие из аксиомы параллельных прямых, которое устанавливает связь между параллельностью и пересечением.

Сформулируйте

Обратное утверждение формулируется следующим образом: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую».

Докажите

Теорема: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны: $a \parallel b$.

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что заключение теоремы неверно, то есть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что прямая $c$ параллельна прямой $b$: $c \parallel b$.

Теперь сопоставим известные нам факты:

1. По условию, $a \parallel b$.

2. По нашему предположению, $c \parallel b$.

Также, по условию, прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Это означает, что $a$ и $c$ — это две различные прямые, проходящие через общую точку $M$.

Точка $M$ принадлежит прямой $a$. Так как $a \parallel b$, точка $M$ не может принадлежать прямой $b$.

Таким образом, мы пришли к следующей ситуации: через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), каждая из которых параллельна прямой $b$.

Это напрямую противоречит аксиоме параллельных прямых (V постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, прямая $c$ обязана пересекать прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Формулировка обратного утверждения: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство: Утверждение доказывается методом от противного. Если предположить, что третья прямая ($c$) не пересекает вторую из данных параллельных прямых ($b$), то это будет означать, что $c \parallel b$. Но по условию $a \parallel b$ и прямая $c$ пересекает $a$ в некоторой точке $M$. Тогда получается, что через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), параллельные прямой $b$. Это противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, сделанное предположение неверно, и прямая $c$ пересекает $b$.