Номер 3.39, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Докажите, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют $180^\circ$.

Пусть даны два угла, $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_1$, стороны которых соответственно параллельны: луч $OA$ параллелен лучу $O_1A_1$, а луч $OB$ параллелен лучу $O_1B_1$. Параллельность лучей означает, что они лежат на параллельных прямых. При этом лучи могут быть направлены в одну сторону (сонаправлены) или в противоположные стороны (противоположно направлены). Рассмотрим все возможные случаи.

Для доказательства воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Перенесем угол $\angle AOB$ параллельно так, чтобы его вершина $O$ совпала с вершиной $O_1$ угла $\angle A_1O_1B_1$. При параллельном переносе величина угла сохраняется. Таким образом, нам нужно доказать утверждение для углов с общей вершиной.

Пусть теперь у нас есть два угла с общей вершиной $O$: $\angle AOB$ и $\angle A_1OB_1$, где $OA \parallel OA_1$ и $OB \parallel OB_1$.

Случай 1: Обе пары сторон сонаправлены.

Это означает, что луч $OA$ совпадает с лучом $OA_1$, а луч $OB$ совпадает с лучом $OB_1$. В этом случае углы полностью совпадают, а значит, они равны: $\angle AOB = \angle A_1OB_1$.

Случай 2: Обе пары сторон противоположно направлены.

В этом случае луч $OA_1$ является дополнением к лучу $OA$ (направлен в противоположную сторону), и луч $OB_1$ является дополнением к лучу $OB$. Угол $\angle A_1OB_1$ является вертикальным к углу $\angle AOB$. Как известно, вертикальные углы равны. Следовательно, $\angle AOB = \angle A_1OB_1$.

Случай 3: Одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена.

Без ограничения общности, предположим, что лучи $OA$ и $OA_1$ сонаправлены (и, следовательно, совпадают), а лучи $OB$ и $OB_1$ противоположно направлены. Тогда лучи $OB$ и $OB_1$ вместе образуют прямую. Углы $\angle AOB$ и $\angle A_1OB_1$ (который в данном случае равен $\angle AOB_1$) являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AOB + \angle A_1OB_1 = 180^\circ$.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения углов с соответственно параллельными сторонами и показали, что такие углы либо равны (если обе пары соответствующих сторон сонаправлены или обе пары противоположно направлены), либо их сумма составляет $180^\circ$ (если одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена).

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.