Номер 3.37, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. Треугольник $ABC$ и точки $P$ и $Q$ такие, что середина отрезка $BP$ совпадает с серединой стороны $AC$, а середина отрезка $CQ$ – с серединой стороны $AB$. Докажите, что точки $A$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Пусть M – середина стороны AC, а N – середина стороны AB треугольника ABC.

Рассмотрим четырехугольник ABPC. По условию, середина отрезка BP совпадает с серединой стороны AC. Это значит, что точка M является серединой как диагонали AC, так и диагонали BP. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, ABPC – это параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны и равны. В частности, сторона AP параллельна стороне BC. Это можно также выразить в векторной форме: $\vec{AP} = \vec{BC}$.

Теперь рассмотрим четырехугольник ACQB. По второму условию задачи, середина отрезка CQ совпадает с серединой стороны AB. Это значит, что точка N является серединой как диагонали AB, так и диагонали CQ. Следовательно, четырехугольник ACQB – это также параллелограмм.

Из свойств этого параллелограмма следует, что сторона AQ параллельна стороне CB. В векторной форме это записывается как $\vec{AQ} = \vec{CB}$.

Теперь сопоставим полученные результаты. Мы установили, что:

1. Прямая, содержащая отрезок AP, параллельна прямой, содержащей отрезок BC.

2. Прямая, содержащая отрезок AQ, параллельна прямой, содержащей отрезок CB.

Прямые BC и CB – это одна и та же прямая. Следовательно, обе прямые AP и AQ параллельны прямой BC. Согласно аксиоме параллельных прямых (через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной), две различные прямые, проходящие через одну и ту же точку A и параллельные третьей прямой (BC), должны совпадать.

Таким образом, прямые AP и AQ совпадают, а это означает, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Этот же вывод можно получить, используя векторные равенства, полученные ранее: $\vec{AP} = \vec{BC}$ и $\vec{AQ} = \vec{CB}$. Поскольку вектор $\vec{CB}$ является противоположным вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$, мы можем записать:$$ \vec{AQ} = -\vec{AP} $$Данное равенство означает, что векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$ коллинеарны, имеют равные модули и противоположные направления. Так как они отложены от одной точки A, это доказывает, что точки A, P и Q лежат на одной прямой, причём A является серединой отрезка PQ.

Ответ: Утверждение доказано.