Номер 3.35, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.35. Даны две прямые $a$ и $b$. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. В евклидовой геометрии на плоскости это означает, что они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $M$. Таким образом, $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$.

Поскольку $a$ и $b$ — это разные прямые, на прямой $a$ существуют точки, отличные от $M$. Выберем одну такую точку и назовем ее $P$. Итак, точка $P$ лежит на прямой $a$ ($P \in a$), но не лежит на прямой $b$ (так как единственная общая точка — это $M$).

Теперь, согласно аксиоме о параллельных прямых (постулату Евклида), через точку $P$, не лежащую на прямой $b$, можно провести единственную прямую, параллельную прямой $b$. Назовем эту прямую $c$.

Рассмотрим построенную прямую $c$:

1. Прямая $c$ пересекает прямую $a$, так как проходит через точку $P$, которая принадлежит прямой $a$.

2. Прямая $c$ по построению параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$), а значит, не имеет с ней общих точек, то есть не пересекает ее.

Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это прямо противоречит условию задачи, которое гласит, что любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, было ложным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.