Номер 3.43, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43*. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению, приведенному в примере 2 на стр 42.

Задача состоит в том, чтобы сформулировать и доказать утверждение, обратное тому, что приведено в примере 2 на стр. 42 (в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и др. для 7-9 классов).

Исходное утверждение:«Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой».

Это утверждение является свойством транзитивности параллельности прямых. Если записать его в виде логического следования для трех прямых $a, b, c$: Если ($a \parallel c$ и $b \parallel c$), то ($a \parallel b$).

Строгое логическое обращение этого утверждения («Если $a \parallel b$, то $a \parallel c$ и $b \parallel c$») является неверным в общем случае, поскольку для двух параллельных прямых $a$ и $b$ всегда можно построить секущую прямую $c$, которая не будет им параллельна.

В курсе геометрии в качестве «обратного» для данного утверждения традиционно рассматривают другое важное следствие из аксиомы параллельных прямых, которое устанавливает связь между параллельностью и пересечением.

Сформулируйте

Обратное утверждение формулируется следующим образом: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую».

Докажите

Теорема: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны: $a \parallel b$.

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что заключение теоремы неверно, то есть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что прямая $c$ параллельна прямой $b$: $c \parallel b$.

Теперь сопоставим известные нам факты:

1. По условию, $a \parallel b$.

2. По нашему предположению, $c \parallel b$.

Также, по условию, прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Это означает, что $a$ и $c$ — это две различные прямые, проходящие через общую точку $M$.

Точка $M$ принадлежит прямой $a$. Так как $a \parallel b$, точка $M$ не может принадлежать прямой $b$.

Таким образом, мы пришли к следующей ситуации: через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), каждая из которых параллельна прямой $b$.

Это напрямую противоречит аксиоме параллельных прямых (V постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, прямая $c$ обязана пересекать прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Формулировка обратного утверждения: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство: Утверждение доказывается методом от противного. Если предположить, что третья прямая ($c$) не пересекает вторую из данных параллельных прямых ($b$), то это будет означать, что $c \parallel b$. Но по условию $a \parallel b$ и прямая $c$ пересекает $a$ в некоторой точке $M$. Тогда получается, что через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), параллельные прямой $b$. Это противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, сделанное предположение неверно, и прямая $c$ пересекает $b$.