Вопросы, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Докажите теорему 1– теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

2. Покажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

3. Сформулируйте и докажите неравенства треугольника.

4. Покажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

1. Докажите теорему 1 — теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника утверждает:

1) Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

2) Против большего угла треугольника лежит большая сторона (обратная теорема).

Доказательство:

1) Докажем, что против большей стороны лежит больший угол.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором сторона $AB$ больше стороны $AC$. Докажем, что угол $\angle ACB$ больше угла $\angle ABC$.

Отложим на стороне $AB$ от вершины $A$ отрезок $AD$, равный стороне $AC$. Так как $AB > AC$, точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$.

Треугольник $ADC$ является равнобедренным по построению ($AD = AC$), следовательно, углы при его основании равны: $\angle ADC = \angle ACD$.

Угол $\angle ACB$ состоит из двух углов: $\angle ACD$ и $\angle DCB$, поэтому $\angle ACB > \angle ACD$.

Заменяя $\angle ACD$ равным ему углом $\angle ADC$, получаем неравенство: $\angle ACB > \angle ADC$.

Угол $\angle ADC$ — внешний угол для треугольника $BDC$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ADC = \angle DBC + \angle BCD$. Отсюда следует, что $\angle ADC > \angle DBC$.

Угол $\angle DBC$ — это и есть угол $\angle ABC$. Таким образом, мы имеем два неравенства: $\angle ACB > \angle ADC$ и $\angle ADC > \angle ABC$.

Из них по свойству транзитивности следует, что $\angle ACB > \angle ABC$, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $\angle B$ больше угла $\angle C$. Докажем, что сторона $AC$ больше стороны $AB$.

Предположим противное, то есть что $AC \le AB$.

Если $AC = AB$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный, и, следовательно, $\angle B = \angle C$. Это противоречит условию, что $\angle B > \angle C$.

Если $AC < AB$, то по первой части доказанной теоремы против большей стороны $AB$ должен лежать больший угол, то есть $\angle C > \angle B$. Это также противоречит условию.

Оба предположения привели к противоречию. Следовательно, наше исходное предположение неверно, и единственно возможным остается, что $AC > AB$.

Теорема доказана.

Ответ: В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

2. Покажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Поскольку $\angle C = 90^\circ$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как углы $A$ и $B$ — это углы треугольника, их градусные меры положительны ($\angle A > 0^\circ$ и $\angle B > 0^\circ$).

Из этого следует, что $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Таким образом, прямой угол $\angle C$ является самым большим углом в прямоугольном треугольнике.

Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против большего угла лежит большая сторона.

Сторона $AB$ (гипотенуза) лежит против наибольшего угла $\angle C$.

Сторона $BC$ (катет) лежит против угла $\angle A$. Так как $\angle C > \angle A$, то $AB > BC$.

Сторона $AC$ (катет) лежит против угла $\angle B$. Так как $\angle C > \angle B$, то $AB > AC$.

Следовательно, гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Ответ: В прямоугольном треугольнике самый большой угол — прямой (90°), и он лежит против гипотенузы. Так как против большего угла лежит большая сторона, гипотенуза больше каждого из катетов.

3. Сформулируйте и докажите неравенства треугольника.

Формулировка: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ выполняются три неравенства:

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$ и докажем для него неравенство $AB < AC + CB$.

На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный стороне $CB$. Соединим точки $B$ и $D$.

В полученном треугольнике $BCD$ стороны $CB$ и $CD$ равны по построению, значит, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.

Рассмотрим угол $\angle ABD$. Он состоит из углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$, то есть $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Отсюда очевидно, что $\angle ABD > \angle CBD$.

Поскольку $\angle CBD = \angle CDB$, мы можем записать неравенство $\angle ABD > \angle CDB$.

Теперь рассмотрим большой треугольник $ABD$. В этом треугольнике против большего угла $\angle ABD$ лежит большая сторона $AD$, а против меньшего угла $\angle CDB$ (он же $\angle ADB$) лежит сторона $AB$.

Следовательно, $AD > AB$.

По построению, длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$. То есть $AD = AC + CD$.

Так как мы откладывали $CD = CB$, то получаем $AD = AC + CB$.

Подставив это в неравенство $AD > AB$, получаем $AC + CB > AB$, что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются и два других неравенства: $AC < AB + BC$ и $BC < AB + AC$.

Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон ($a < b + c$).

4. Покажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Это утверждение является следствием неравенства треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Из неравенства треугольника (доказано в п.3) мы знаем, что:

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

Рассмотрим неравенство $b < a + c$. Вычтем из обеих частей неравенства сторону $c$:

$b - c < a$

Теперь рассмотрим неравенство $c < a + b$. Вычтем из обеих частей сторону $b$:

$c - b < a$

Мы получили два неравенства: $a > b - c$ и $a > c - b$. Второе неравенство можно записать как $a > -(b - c)$.

Если число $a$ больше некоторого числа ($b - c$) и противоположного ему ($c - b$), то оно больше модуля этого числа. То есть:

$a > |b - c|$

Аналогично, из двух других неравенств треугольника можно получить:

$b > |a - c|$

$c > |a - b|$

Таким образом, любая сторона треугольника всегда больше модуля разности двух других сторон.

Ответ: Из неравенства треугольника ($a < b+c$) следует, что $a-b < c$ и $a-c < b$. Это означает, что любая сторона треугольника больше разности двух других сторон ($c > |a-b|$).