Страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

П3 Начертите треугольник с неравными сторонами. С помощью измерительной линейки проверьте справедливость теорем 1 и 2.

Для выполнения этого задания начертим произвольный треугольник с тремя сторонами разной длины (разносторонний треугольник). Обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$.

С помощью измерительной линейки измерим длины его сторон. Для примера, пусть у нас получились следующие значения: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 10$ см. Мы видим, что все стороны имеют разную длину: $6 \neq 8 \neq 10$.

Теперь проверим справедливость теорем 1 и 2 на этом примере.

Теорема 1 (о соотношении между сторонами и углами треугольника)

Сформулируем теорему: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Мы измерили стороны и получили: $AC = 10$ см, $BC = 8$ см, $AB = 6$ см. Расположим их в порядке убывания длины: $AC > BC > AB$.

Теперь необходимо измерить углы, которые лежат напротив этих сторон. Для этого используется транспортир.

• Угол, лежащий напротив стороны $AC$ (самой длинной), — это $\angle B$.

• Угол, лежащий напротив стороны $BC$ (средней), — это $\angle A$.

• Угол, лежащий напротив стороны $AB$ (самой короткой), — это $\angle C$.

Проведя измерения транспортиром, мы получим следующие примерные значения углов: $\angle B \approx 90^{\circ}$, $\angle A \approx 53^{\circ}$, $\angle C \approx 37^{\circ}$.

Расположим углы в порядке убывания их величины: $\angle B > \angle A > \angle C$.

Теперь сравним порядок сторон и порядок противолежащих им углов:

Стороны: $AC (10 \text{ см}) > BC (8 \text{ см}) > AB (6 \text{ см})$

Углы: $\angle B (90^{\circ}) > \angle A (53^{\circ}) > \angle C (37^{\circ})$

Соотношение полностью выполняется: самой большой стороне $AC$ противолежит самый большой угол $\angle B$, средней стороне $BC$ — средний угол $\angle A$, а самой маленькой стороне $AB$ — самый маленький угол $\angle C$. Следовательно, теорема 1 справедлива.

Ответ: теорема 1, утверждающая, что против большей стороны треугольника лежит больший угол (и наоборот), подтверждается измерениями.

Теорема 2 (неравенство треугольника)

Сформулируем теорему: любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Мы используем измеренные длины сторон нашего треугольника: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 10$ см. Для проверки теоремы нужно убедиться, что выполняются три неравенства.

Проверка для стороны $AB$: она должна быть меньше суммы $BC$ и $AC$.

$AB < BC + AC \implies 6 < 8 + 10 \implies 6 < 18$. Неравенство верное.

Проверка для стороны $BC$: она должна быть меньше суммы $AB$ и $AC$.

$BC < AB + AC \implies 8 < 6 + 10 \implies 8 < 16$. Неравенство верное.

Проверка для стороны $AC$: она должна быть меньше суммы $AB$ и $BC$.

$AC < AB + BC \implies 10 < 6 + 8 \implies 10 < 14$. Неравенство верное.

Все три условия выполняются. Каждая сторона нашего треугольника меньше суммы двух других сторон. Следовательно, теорема 2 справедлива.

Ответ: теорема 2 (неравенство треугольника) подтверждается измерениями.

1. Докажите теорему 1– теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

2. Покажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

3. Сформулируйте и докажите неравенства треугольника.

4. Покажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

1. Докажите теорему 1 — теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника утверждает:

1) Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

2) Против большего угла треугольника лежит большая сторона (обратная теорема).

Доказательство:

1) Докажем, что против большей стороны лежит больший угол.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором сторона $AB$ больше стороны $AC$. Докажем, что угол $\angle ACB$ больше угла $\angle ABC$.

Отложим на стороне $AB$ от вершины $A$ отрезок $AD$, равный стороне $AC$. Так как $AB > AC$, точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$.

Треугольник $ADC$ является равнобедренным по построению ($AD = AC$), следовательно, углы при его основании равны: $\angle ADC = \angle ACD$.

Угол $\angle ACB$ состоит из двух углов: $\angle ACD$ и $\angle DCB$, поэтому $\angle ACB > \angle ACD$.

Заменяя $\angle ACD$ равным ему углом $\angle ADC$, получаем неравенство: $\angle ACB > \angle ADC$.

Угол $\angle ADC$ — внешний угол для треугольника $BDC$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ADC = \angle DBC + \angle BCD$. Отсюда следует, что $\angle ADC > \angle DBC$.

Угол $\angle DBC$ — это и есть угол $\angle ABC$. Таким образом, мы имеем два неравенства: $\angle ACB > \angle ADC$ и $\angle ADC > \angle ABC$.

Из них по свойству транзитивности следует, что $\angle ACB > \angle ABC$, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $\angle B$ больше угла $\angle C$. Докажем, что сторона $AC$ больше стороны $AB$.

Предположим противное, то есть что $AC \le AB$.

Если $AC = AB$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный, и, следовательно, $\angle B = \angle C$. Это противоречит условию, что $\angle B > \angle C$.

Если $AC < AB$, то по первой части доказанной теоремы против большей стороны $AB$ должен лежать больший угол, то есть $\angle C > \angle B$. Это также противоречит условию.

Оба предположения привели к противоречию. Следовательно, наше исходное предположение неверно, и единственно возможным остается, что $AC > AB$.

Теорема доказана.

Ответ: В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

2. Покажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Поскольку $\angle C = 90^\circ$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как углы $A$ и $B$ — это углы треугольника, их градусные меры положительны ($\angle A > 0^\circ$ и $\angle B > 0^\circ$).

Из этого следует, что $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Таким образом, прямой угол $\angle C$ является самым большим углом в прямоугольном треугольнике.

Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против большего угла лежит большая сторона.

Сторона $AB$ (гипотенуза) лежит против наибольшего угла $\angle C$.

Сторона $BC$ (катет) лежит против угла $\angle A$. Так как $\angle C > \angle A$, то $AB > BC$.

Сторона $AC$ (катет) лежит против угла $\angle B$. Так как $\angle C > \angle B$, то $AB > AC$.

Следовательно, гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Ответ: В прямоугольном треугольнике самый большой угол — прямой (90°), и он лежит против гипотенузы. Так как против большего угла лежит большая сторона, гипотенуза больше каждого из катетов.

3. Сформулируйте и докажите неравенства треугольника.

Формулировка: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ выполняются три неравенства:

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$ и докажем для него неравенство $AB < AC + CB$.

На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный стороне $CB$. Соединим точки $B$ и $D$.

В полученном треугольнике $BCD$ стороны $CB$ и $CD$ равны по построению, значит, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.

Рассмотрим угол $\angle ABD$. Он состоит из углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$, то есть $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Отсюда очевидно, что $\angle ABD > \angle CBD$.

Поскольку $\angle CBD = \angle CDB$, мы можем записать неравенство $\angle ABD > \angle CDB$.

Теперь рассмотрим большой треугольник $ABD$. В этом треугольнике против большего угла $\angle ABD$ лежит большая сторона $AD$, а против меньшего угла $\angle CDB$ (он же $\angle ADB$) лежит сторона $AB$.

Следовательно, $AD > AB$.

По построению, длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$. То есть $AD = AC + CD$.

Так как мы откладывали $CD = CB$, то получаем $AD = AC + CB$.

Подставив это в неравенство $AD > AB$, получаем $AC + CB > AB$, что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются и два других неравенства: $AC < AB + BC$ и $BC < AB + AC$.

Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон ($a < b + c$).

4. Покажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Это утверждение является следствием неравенства треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Из неравенства треугольника (доказано в п.3) мы знаем, что:

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

Рассмотрим неравенство $b < a + c$. Вычтем из обеих частей неравенства сторону $c$:

$b - c < a$

Теперь рассмотрим неравенство $c < a + b$. Вычтем из обеих частей сторону $b$:

$c - b < a$

Мы получили два неравенства: $a > b - c$ и $a > c - b$. Второе неравенство можно записать как $a > -(b - c)$.

Если число $a$ больше некоторого числа ($b - c$) и противоположного ему ($c - b$), то оно больше модуля этого числа. То есть:

$a > |b - c|$

Аналогично, из двух других неравенств треугольника можно получить:

$b > |a - c|$

$c > |a - b|$

Таким образом, любая сторона треугольника всегда больше модуля разности двух других сторон.

Ответ: Из неравенства треугольника ($a < b+c$) следует, что $a-b < c$ и $a-c < b$. Это означает, что любая сторона треугольника больше разности двух других сторон ($c > |a-b|$).

3.44. В треугольнике $ABC$ $BC > AC > AB$. Какой из углов больше:

1) угол $B$ или угол $A$?

2) угол $C$ или угол $A$?

Для решения этой задачи используется теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника, которая гласит: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

В условии задачи дан треугольник $ABC$, для сторон которого выполняется неравенство $BC > AC > AB$.

Определим, какие углы лежат против каждой из сторон:

• Против стороны $BC$ лежит угол $A$ (или $\angle A$).
• Против стороны $AC$ лежит угол $B$ (или $\angle B$).
• Против стороны $AB$ лежит угол $C$ (или $\angle C$).

Применяя указанную теорему к неравенству $BC > AC > AB$, мы можем составить соответствующее неравенство для противолежащих углов: $\angle A > \angle B > \angle C$.

Теперь, основываясь на этом, ответим на вопросы.

1) угол B или угол A

Необходимо сравнить величины углов $A$ и $B$. Угол $A$ лежит против стороны $BC$, а угол $B$ — против стороны $AC$. Так как по условию $BC > AC$, то по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, угол, противолежащий стороне $BC$, больше угла, противолежащего стороне $AC$. Таким образом, получаем $\angle A > \angle B$.

Ответ: Угол $A$ больше, чем угол $B$.

2) угол C или угол A

Необходимо сравнить величины углов $C$ и $A$. Угол $A$ лежит против стороны $BC$, а угол $C$ — против стороны $AB$. Из условия $BC > AC > AB$ следует, что $BC > AB$. Следовательно, угол, противолежащий стороне $BC$, будет больше угла, противолежащего стороне $AB$. Таким образом, получаем $\angle A > \angle C$.

Ответ: Угол $A$ больше, чем угол $C$.

3.45. Существует ли треугольник со сторонами, равными:

1) 2 см, 3 см и 5 см;

2) 2,1 дм, 2 дм и 4 дм;

3) 4 м, 3 м и 6 м?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными сторонами, необходимо проверить выполнение неравенства треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей (оставшейся) стороны. На практике достаточно проверить, выполняется ли это условие для двух меньших сторон и одной наибольшей: сумма длин двух меньших сторон должна быть строго больше длины наибольшей стороны.

Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$. Должны выполняться три неравенства:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Проверим это правило для каждого случая.

1) 2 см, 3 см и 5 см

Пусть стороны $a = 2$ см, $b = 3$ см и $c = 5$ см. Наибольшая сторона равна 5 см. Проверим, больше ли сумма двух других сторон этой величины.

Складываем длины двух меньших сторон: $2 + 3 = 5$ см.

Сравниваем результат с длиной наибольшей стороны: $5$ см $= 5$ см.

Условие $a+b>c$ не выполняется, так как $2+3$ не больше $5$. Сумма двух сторон равна третьей, а это означает, что все три вершины такого "треугольника" лежат на одной прямой. Такой треугольник называется вырожденным и не является треугольником в строгом смысле.

Ответ: не существует.

2) 2,1 дм, 2 дм и 4 дм

Пусть стороны $a = 2,1$ дм, $b = 2$ дм и $c = 4$ дм. Наибольшая сторона равна 4 дм. Проверим, больше ли сумма двух других сторон этой величины.

Складываем длины двух меньших сторон: $2,1 + 2 = 4,1$ дм.

Сравниваем результат с длиной наибольшей стороны: $4,1$ дм $> 4$ дм.

Неравенство треугольника выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами может существовать.

Ответ: существует.

3) 4 м, 3 м и 6 м

Пусть стороны $a = 4$ м, $b = 3$ м и $c = 6$ м. Наибольшая сторона равна 6 м. Проверим, больше ли сумма двух других сторон этой величины.

Складываем длины двух меньших сторон: $4 + 3 = 7$ м.

Сравниваем результат с длиной наибольшей стороны: $7$ м $> 6$ м.

Неравенство треугольника выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами может существовать.

Ответ: существует.

3.46. Сравните стороны треугольника ABC, если:

1) $\angle A > \angle B > \angle C$;

2) $\angle A = \angle B < \angle C$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Эта теорема гласит, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол. Также, если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны (такой треугольник является равнобедренным).

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, сторона $AC$ — напротив угла $B$, а сторона $AB$ — напротив угла $C$.

1)

По условию дано неравенство для углов: $ \angle A > \angle B > \angle C $.

Согласно теореме, так как $ \angle A > \angle B $, то сторона, лежащая против угла $A$ (сторона $BC$), больше стороны, лежащей против угла $B$ (сторона $AC$). Таким образом, $BC > AC$.

Аналогично, так как $ \angle B > \angle C $, то сторона, лежащая против угла $B$ (сторона $AC$), больше стороны, лежащей против угла $C$ (сторона $AB$). Таким образом, $AC > AB$.

Объединяя эти два неравенства, мы получаем итоговое соотношение между сторонами треугольника: $BC > AC > AB$.

Ответ: $BC > AC > AB$.

2)

По условию дано соотношение для углов: $ \angle A = \angle B < \angle C $.

Рассмотрим это соотношение по частям.

Из равенства $ \angle A = \angle B $ следует, что стороны, лежащие напротив этих углов, равны. То есть, сторона $BC$ (против угла $A$) равна стороне $AC$ (против угла $B$). Получаем $BC = AC$.

Из неравенства $ \angle B < \angle C $ следует, что сторона, лежащая против угла $B$ (сторона $AC$), меньше стороны, лежащей против угла $C$ (сторона $AB$). Получаем $AC < AB$.

Объединив полученные равенство и неравенство, мы получаем окончательное соотношение для сторон: $BC = AC < AB$.

Ответ: $BC = AC < AB$.

3.47. В треугольнике $ABC$ $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AC = 6$ см. Сравните углы $A$, $B$ и $C$.

Для того чтобы сравнить углы треугольника, зная длины его сторон, необходимо воспользоваться теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника. Эта теорема гласит: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший угол.

В треугольнике $ABC$ даны стороны:

$AB = 4$ см

$BC = 5$ см

$AC = 6$ см

Расположим стороны треугольника в порядке возрастания их длин:

$AB < BC < AC$, поскольку $4 < 5 < 6$.

Теперь определим, какие углы лежат напротив каждой из этих сторон:

• Угол $C$ ($\angle C$) лежит напротив стороны $AB$.
• Угол $A$ ($\angle A$) лежит напротив стороны $BC$.
• Угол $B$ ($\angle B$) лежит напротив стороны $AC$.

Применяя теорему о соотношении сторон и углов, мы можем установить такое же соотношение для углов, которое мы установили для противолежащих им сторон:

Поскольку $AB$ — наименьшая сторона, то противолежащий ей угол $C$ — наименьший.

Поскольку $AC$ — наибольшая сторона, то противолежащий ей угол $B$ — наибольший.

Сторона $BC$ имеет среднюю длину, следовательно, противолежащий ей угол $A$ будет средним по величине между углами $C$ и $B$.

Таким образом, мы получаем следующее неравенство для углов:

$\angle C < \angle A < \angle B$

Ответ: $\angle C < \angle A < \angle B$.

3.48. Какой вид имеет треугольник, если известно, что:

1) два угла равны между собой;

2) три угла равны между собой?

1) Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, также равны. Пусть в некотором треугольнике углы $\alpha$ и $\beta$ равны. Тогда стороны, лежащие напротив этих углов, также будут равны. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Ответ: равнобедренный треугольник.

2) Если все три угла треугольника равны между собой, то такой треугольник является равноугольным. Найдем величину каждого угла. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Пусть каждый угол равен $\alpha$. Тогда:

$\alpha + \alpha + \alpha = 180^\circ$

$3\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Таким образом, каждый угол такого треугольника равен $60^\circ$.

В треугольнике напротив равных углов лежат равные стороны. Так как все три угла равны, то и все три стороны треугольника равны между собой. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Следовательно, данный треугольник является равносторонним (и равноугольным).

Ответ: равносторонний (или равноугольный) треугольник.

3.49. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см. Может ли его основание быть равным 15 см?

Для того чтобы определить, может ли существовать треугольник с заданными сторонами, необходимо применить неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей, оставшейся стороны.

В данном случае рассматривается равнобедренный треугольник. У него две боковые стороны равны. По условию, длина боковой стороны составляет 6 см. Таким образом, мы имеем две стороны по 6 см. Длина основания, которую нам предлагают рассмотреть, равна 15 см.

Обозначим боковые стороны как $a$ и $b$, а основание как $c$. Тогда $a = 6$ см, $b = 6$ см, $c = 15$ см.

Проверим выполнение неравенства треугольника для суммы боковых сторон и основания:

$a + b > c$

Подставим значения:

$6 + 6 > 15$

$12 > 15$

Полученное неравенство $12 > 15$ является ложным. Поскольку неравенство треугольника не выполняется, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Ответ: нет, не может. Сумма длин двух боковых сторон ($6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$) меньше длины основания (15 см), что противоречит неравенству треугольника.

3.50. Могут ли стороны треугольника относиться как:

1) $2 : 3 : 4$;

2) $2 : 3 : 5$?

Для того чтобы определить, могут ли стороны треугольника иметь заданное отношение, необходимо проверить, выполняется ли для них неравенство треугольника. Это неравенство утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. На практике достаточно проверить, что сумма длин двух меньших сторон больше длины самой большой стороны.

1) 2 : 3 : 4

Пусть длины сторон треугольника равны $2x$, $3x$ и $4x$, где $x$ — некоторый положительный коэффициент.

Самая длинная сторона равна $4x$. Сумма двух других сторон: $2x + 3x = 5x$.

Проверим выполнение неравенства: $2x + 3x > 4x$.

$5x > 4x$.

Так как $x$ — это коэффициент для длины, он положителен ($x > 0$), и данное неравенство является верным. Следовательно, треугольник с таким отношением сторон может существовать.

Ответ: да, могут.

2) 2 : 3 : 5

Пусть длины сторон треугольника равны $2x$, $3x$ и $5x$, где $x > 0$.

Самая длинная сторона равна $5x$. Сумма двух других сторон: $2x + 3x = 5x$.

Проверим выполнение неравенства: $2x + 3x > 5x$.

$5x > 5x$.

Это неравенство неверно, поскольку $5x$ равно $5x$, а не строго больше. Условие не выполнено. В этом случае все три вершины лежат на одной прямой, образуя так называемый вырожденный треугольник, который не является треугольником в строгом смысле этого слова.

Ответ: нет, не могут.

3.51. Какой вид имеет треугольник, в котором больший угол меньше суммы двух других углов?

Обозначим углы треугольника как $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $ 180^\circ $:

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Пусть $ \gamma $ — наибольший угол в этом треугольнике. По условию задачи, он меньше суммы двух других углов:

$ \gamma < \alpha + \beta $

Мы имеем систему из уравнения и неравенства:

$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \\ \gamma < \alpha + \beta \end{cases} $

Из первого уравнения выразим сумму углов $ \alpha + \beta $:

$ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma $

Подставим это выражение во второе неравенство:

$ \gamma < 180^\circ - \gamma $

Теперь решим это неравенство относительно $ \gamma $:

$ \gamma + \gamma < 180^\circ $

$ 2\gamma < 180^\circ $

$ \gamma < 90^\circ $

Таким образом, мы выяснили, что наибольший угол треугольника ($ \gamma $) должен быть меньше $ 90^\circ $. Поскольку $ \gamma $ является наибольшим углом, то два других угла ($ \alpha $ и $ \beta $) также меньше $ 90^\circ $.

Треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $ 90^\circ $), называется остроугольным.

Для проверки можно рассмотреть другие типы треугольников:

- В прямоугольном треугольнике наибольший угол $ \gamma = 90^\circ $, а сумма двух других $ \alpha + \beta = 90^\circ $. В этом случае $ \gamma = \alpha + \beta $, что не соответствует условию $ \gamma < \alpha + \beta $.

- В тупоугольном треугольнике наибольший угол $ \gamma > 90^\circ $. Из этого следует, что $ 2\gamma > 180^\circ $. Подставив $ 180^\circ = \alpha + \beta + \gamma $, получим $ 2\gamma > \alpha + \beta + \gamma $, что упрощается до $ \gamma > \alpha + \beta $. Это противоречит условию задачи.

Следовательно, единственным видом треугольника, удовлетворяющим условию, является остроугольный.

Ответ: остроугольный.

3.52. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны:

1) 2 см и 5 см;

2) 21 см и 9 см;

3) 6 дм и 3 дм.

Основным правилом для существования любого треугольника является неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. В равнобедренном треугольнике как минимум две стороны равны. Следовательно, третья сторона должна быть равна одной из двух данных сторон. Проверим оба варианта для каждого случая.

1)

Даны стороны 2 см и 5 см. Третья сторона может быть равна либо 2 см, либо 5 см.

• Предположим, стороны равны 2 см, 2 см и 5 см. Проверим неравенство треугольника: $2 + 2 > 5$. Это неверно, так как $4 \lt 5$. Следовательно, треугольник с такими сторонами не существует.

• Предположим, стороны равны 2 см, 5 см и 5 см. Проверим неравенство треугольника: $2 + 5 > 5$ (верно, $7 > 5$) и $5 + 5 > 2$ (верно, $10 > 2$). Этот вариант возможен.

Значит, третья сторона может быть только 5 см.

Ответ: 5 см.

2)

Даны стороны 21 см и 9 см. Третья сторона может быть равна либо 21 см, либо 9 см.

• Предположим, стороны равны 9 см, 9 см и 21 см. Проверим неравенство треугольника: $9 + 9 > 21$. Это неверно, так как $18 \lt 21$. Следовательно, такой треугольник не существует.

• Предположим, стороны равны 21 см, 21 см и 9 см. Проверим неравенство треугольника: $21 + 9 > 21$ (верно, $30 > 21$) и $21 + 21 > 9$ (верно, $42 > 9$). Этот вариант возможен.

Значит, третья сторона может быть только 21 см.

Ответ: 21 см.

3)

Даны стороны 6 дм и 3 дм. Третья сторона может быть равна либо 6 дм, либо 3 дм.

• Предположим, стороны равны 3 дм, 3 дм и 6 дм. Проверим неравенство треугольника: $3 + 3 > 6$. Это неверно, так как $6$ не больше $6$. Сумма двух сторон должна быть строго больше третьей. Следовательно, такой треугольник не существует.

• Предположим, стороны равны 6 дм, 6 дм и 3 дм. Проверим неравенство треугольника: $6 + 3 > 6$ (верно, $9 > 6$) и $6 + 6 > 3$ (верно, $12 > 3$). Этот вариант возможен.

Значит, третья сторона может быть только 6 дм.

Ответ: 6 дм.

3.53. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 20 см, а другая – 10 см. Какая из них является основанием?

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. В условии задачи даны две возможные длины сторон: 20 см и 10 см. Это означает, что у треугольника могут быть два варианта набора сторон:

1. Две боковые стороны по 10 см и основание 20 см.

2. Две боковые стороны по 20 см и основание 10 см.

Для того чтобы треугольник мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух его сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверим оба варианта.

Вариант 1: стороны равны 10 см, 10 см и 20 см.

Проверим, больше ли сумма двух меньших сторон, чем третья: $10 + 10 > 20$ $20 > 20$ Это неравенство неверно, так как 20 не больше 20. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Вариант 2: стороны равны 20 см, 20 см и 10 см.

Проверим неравенства: $20 + 20 > 10$ ( $40 > 10$ ) – верно.

$20 + 10 > 20$ ( $30 > 20$ ) – верно.

Все условия неравенства треугольника выполняются, значит, такой треугольник существует.

Таким образом, единственно возможный вариант — это треугольник с боковыми сторонами по 20 см и основанием 10 см.

Ответ: Основанием является сторона длиной 10 см.