Номер 3.27, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. В треугольнике ABC $\angle A = \angle B = 45^\circ$ и $AB = 19$ см. Найдите:

1) расстояние от точки С до прямой AB;

2) длину проекции отрезка AC на прямую AB (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Поскольку в треугольнике ABC углы при основании AB равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB. Это означает, что боковые стороны равны: $AC = BC$.

1) расстояние от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из вершины C высоту CH на сторону AB. Длина отрезка CH и будет искомым расстоянием.

В равнобедренном треугольнике ABC высота CH, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что точка H делит основание AB пополам.

Найдем длину отрезка AH:

$AH = BH = \frac{AB}{2} = \frac{19}{2} = 9.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC (так как CH — высота, $\angle AHC = 90^\circ$). Мы знаем, что $\angle A = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике AHC два угла равны ($\angle A = \angle ACH = 45^\circ$), он является равнобедренным. Следовательно, катеты этого треугольника равны: $CH = AH$.

Поскольку мы уже вычислили, что $AH = 9.5$ см, то и $CH = 9.5$ см.

Ответ: 9,5 см.

2) длину проекции отрезка АС на прямую АВ

Проекцией отрезка AC на прямую AB является отрезок на прямой AB, концами которого служат проекции точек A и C.

Проекцией точки A на прямую AB является сама точка A.

Проекцией точки C на прямую AB является основание перпендикуляра, опущенного из точки C на эту прямую, то есть точка H.

Таким образом, проекцией отрезка AC на прямую AB является отрезок AH.

Длину отрезка AH мы нашли при решении первого пункта:

$AH = 9.5$ см.

Ответ: 9,5 см.