Страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.39. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите, что $\triangle ACO = \triangle BDO$, если $AO = BO$ и $\angle CAO = \angle DBO$.

Рассмотрим треугольники $ \Delta ACO $ и $ \Delta BDO $. Для доказательства их равенства необходимо найти три равных элемента, соответствующих одному из признаков равенства треугольников.

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Согласно этому признаку, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сравним элементы данных нам треугольников $ \Delta ACO $ и $ \Delta BDO $:

1. Из условия задачи известно, что $ AO = BO $. Это равные стороны в наших треугольниках.

2. Также по условию $ \angle CAO = \angle DBO $. Это первая пара равных углов, прилежащих к сторонам $ AO $ и $ BO $ соответственно.

3. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ образованы при пересечении отрезков $ AB $ и $ CD $ в точке $ O $. Такие углы являются вертикальными, а вертикальные углы всегда равны. Следовательно, $ \angle AOC = \angle BOD $. Это вторая пара равных углов, также прилежащих к сторонам $ AO $ и $ BO $.

Таким образом, мы имеем все условия для применения второго признака равенства треугольников: сторона $ AO $ и прилежащие к ней углы $ \angle CAO $ и $ \angle AOC $ треугольника $ \Delta ACO $ соответственно равны стороне $ BO $ и прилежащим к ней углам $ \angle DBO $ и $ \angle BOD $ треугольника $ \Delta BDO $.

Следовательно, $ \Delta ACO = \Delta BDO $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \Delta ACO = \Delta BDO $ доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как по условию $ AO = BO $ и $ \angle CAO = \angle DBO $, а углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ равны как вертикальные.

2.40. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$ и $BD$ – биссектриса. Найдите:

1) $\angle BCA$, если смежный угол при вершине A равен $130^\circ$;

2) периметр треугольника $ABC$, если $AB = 5$ см, $AD = 2$ см.

По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Также в равнобедренном треугольнике биссектриса $BD$, проведенная из вершины к основанию, является медианой и высотой.

1) Смежный угол при вершине $A$ и внутренний угол треугольника $\angle BAC$ в сумме составляют $180^\circ$, так как они являются смежными. Известно, что смежный угол при вершине $A$ равен $130^\circ$. Тогда мы можем найти величину угла $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны:

$\angle BCA = \angle BAC$.

Следовательно, $\angle BCA = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

2) Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Из условия задачи известно, что $AB = 5$ см. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = BC$, то $BC = 5$ см.

Биссектриса $BD$, проведенная к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $AC$, и, следовательно, $AD = DC$.

По условию $AD = 2$ см, значит, и $DC = 2$ см.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Теперь можем вычислить периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: $14$ см.

2.41. Докажите, что в равностороннем треугольнике:

1) все три угла равны;

2) все три медианы равны.

1) все три угла равны

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны: $AB = BC = CA$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC$, то по определению он является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle C$.

2. Теперь рассмотрим тот же треугольник $ABC$. Так как $BC = CA$, то он также является равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, углы при основании $AB$ равны, то есть $\angle B = \angle A$.

3. Из полученных равенств $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle A$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

2) все три медианы равны

Пусть в равностороннем треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$, $BN$ и $CK$ к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

1. По определению медианы, точки $M, N, K$ являются серединами соответствующих сторон: $BM = MC = \frac{1}{2}BC$, $AN = NC = \frac{1}{2}AC$, $AK = KB = \frac{1}{2}AB$.

2. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $AB = BC = AC$. Следовательно, и половины этих сторон равны между собой: $BM = NC = AK$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle BCN$. У них:

• $AB = BC$ (как стороны равностороннего треугольника).
• $BM = CN$ (как половины равных сторон).
• $\angle B = \angle C$ (как углы равностороннего треугольника, что доказано в пункте 1).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle BCN$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = BN$.

4. Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle CAK$. У них:

• $BC = CA$ (как стороны равностороннего треугольника).
• $CN = AK$ (как половины равных сторон).
• $\angle C = \angle A$ (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle BCN = \triangle CAK$. Из этого следует, что $BN = CK$.

5. Из полученных равенств $AM = BN$ и $BN = CK$ следует, что все три медианы равны: $AM = BN = CK$.

Ответ: Утверждение доказано. Все медианы равностороннего треугольника равны.

2.42. $AN$ является медианой равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$. Найдите $AN$, если периметр треугольника $ABC$ равен 32 см, а периметр треугольника $ABN$ равен 24 см.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:$P_{ABC} = AB + AC + BC$.Так как $AB = AC$ и $P_{ABC} = 32$ см, мы можем записать:$2 \cdot AB + BC = 32$.

$AN$ — это медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, она делит сторону, к которой проведена, на два равных отрезка. Следовательно, точка $N$ является серединой стороны $BC$, и $BN = NC$.Таким образом, длина стороны $BC$ равна удвоенной длине отрезка $BN$: $BC = 2 \cdot BN$.

Подставим это соотношение в формулу периметра треугольника $ABC$:$2 \cdot AB + 2 \cdot BN = 32$.Вынесем общий множитель 2 за скобки:$2 \cdot (AB + BN) = 32$.Разделим обе части уравнения на 2:$AB + BN = 16$.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABN$ ($P_{ABN}$). Он равен сумме длин его сторон:$P_{ABN} = AB + BN + AN$.По условию, $P_{ABN} = 24$ см.$AB + BN + AN = 24$.

Из предыдущих вычислений мы знаем, что сумма $AB + BN$ равна 16. Подставим это значение в уравнение для периметра треугольника $ABN$:$16 + AN = 24$.

Теперь мы можем найти длину медианы $AN$:$AN = 24 - 16$.$AN = 8$ см.

Ответ: 8 см.

2.43. Треугольники $PRQ$ и $PKQ$ расположены так, что имеют общую сторону $PQ$, а вершины $R$ и $K$ находятся по разные стороны относительно прямой $PQ$. Докажите, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$, если $PR = PK$, $QR = QK$ (рис. 2.29).

Для доказательства того, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть $ \angle RPQ = \angle KPQ $.

Рассмотрим два треугольника: $ \triangle PRQ $ и $ \triangle PKQ $.

Проанализируем их стороны:

• Сторона $PR$ равна стороне $PK$ по условию ($PR = PK$).
• Сторона $QR$ равна стороне $QK$ по условию ($QR = QK$).
• Сторона $PQ$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ \triangle PRQ $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle PKQ $. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), эти треугольники равны:

$ \triangle PRQ = \triangle PKQ $

В равных треугольниках соответствующие углы также равны. Нас интересуют углы $ \angle RPQ $ и $ \angle KPQ $. Угол $ \angle RPQ $ в треугольнике $ \triangle PRQ $ лежит напротив стороны $QR$. Угол $ \angle KPQ $ в треугольнике $ \triangle PKQ $ лежит напротив стороны $QK$.

Поскольку стороны $QR$ и $QK$ равны, то и противолежащие им углы в равных треугольниках должны быть равны:

$ \angle RPQ = \angle KPQ $

Так как луч $PQ$ делит угол $KPR$ на два равных угла, по определению он является биссектрисой этого угла.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $PRQ$ и $PKQ$ равны по трем сторонам ($PR = PK$, $QR = QK$, $PQ$ — общая), следовательно, равны и их соответствующие углы $ \angle RPQ $ и $ \angle KPQ $, а значит, луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$.

2.44. $AB$ является общим основанием равнобедренных треугольников $ABC$ и $ABD$, а вершины $C$ и $D$ находятся по разные стороны от прямой $AB$. Покажите, что отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Дано:

Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AB$, из чего следует $AC = BC$.

Треугольник $ABD$ – равнобедренный с основанием $AB$, из чего следует $AD = BD$.

Вершины $C$ и $D$ находятся по разные стороны от прямой $AB$.

Доказать:

Отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны, то есть $AB \perp CD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим точку $C$. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что боковые стороны равны: $AC = BC$. Таким образом, точка $C$ равноудалена от концов отрезка $AB$.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $C$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$.

3. Теперь рассмотрим точку $D$. По условию, треугольник $ABD$ также является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что боковые стороны равны: $AD = BD$. Таким образом, точка $D$ также равноудалена от концов отрезка $AB$.

4. Следовательно, точка $D$ также принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$.

5. Поскольку обе точки, $C$ и $D$, лежат на одной и той же прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, — то прямая $CD$ и есть этот серединный перпендикуляр (согласно аксиоме, через две точки можно провести только одну прямую).

6. По определению, серединный перпендикуляр к отрезку перпендикулярен этому отрезку. Значит, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AB$, и, следовательно, отрезки $CD$ и $AB$ перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точки $C$ и $D$ равноудалены от концов отрезка $AB$, прямая, проходящая через них, является серединным перпендикуляром к $AB$. Следовательно, отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

2.45. Докажите, что треугольник – равнобедренный, если:

1) его медиана является и высотой;

2) его высота является и биссектрисой.

1) его медиана является и высотой;

Пусть в треугольнике $ \triangle ABC $ отрезок $ BM $, проведенный из вершины $ B $ к стороне $ AC $, является одновременно и медианой, и высотой.

Нам нужно доказать, что $ \triangle ABC $ — равнобедренный, то есть что $ AB = BC $.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $ BM $ делит исходный треугольник: $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $.

• Поскольку $ BM $ — медиана, она делит сторону $ AC $ на два равных отрезка: $ AM = MC $.
• Поскольку $ BM $ — высота, она перпендикулярна стороне $ AC $, а значит, углы при основании высоты прямые: $ \angle BMA = \angle BMC = 90^\circ $.
• Сторона $ BM $ является общей для обоих треугольников.

Сравним треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $. У них:

1. $ AM = MC $ (по свойству медианы).
2. $ \angle BMA = \angle BMC $ (по свойству высоты).
3. $ BM $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle CBM $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Сторона $ AB $ в $ \triangle ABM $ лежит напротив угла $ \angle BMA $, а сторона $ BC $ в $ \triangle CBM $ лежит напротив равного ему угла $ \angle BMC $. Значит, эти стороны равны: $ AB = BC $.

Так как в треугольнике $ \triangle ABC $ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) его высота является и биссектрисой.

Пусть в треугольнике $ \triangle ABC $ отрезок $ BH $, проведенный из вершины $ B $ к стороне $ AC $, является одновременно и высотой, и биссектрисой угла $ \angle ABC $.

Нам нужно доказать, что $ \triangle ABC $ — равнобедренный, то есть что $ AB = BC $.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $ BH $ делит исходный треугольник: $ \triangle ABH $ и $ \triangle CBH $.

• Поскольку $ BH $ — высота, она перпендикулярна стороне $ AC $: $ \angle BHA = \angle BHC = 90^\circ $.
• Поскольку $ BH $ — биссектриса, она делит угол $ \angle ABC $ пополам: $ \angle ABH = \angle CBH $.
• Сторона $ BH $ является общей для обоих треугольников.

Сравним треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle CBH $. У них:

1. $ \angle ABH = \angle CBH $ (по свойству биссектрисы).
2. $ BH $ — общая сторона.
3. $ \angle BHA = \angle BHC $ (по свойству высоты).

Следовательно, $ \triangle ABH = \triangle CBH $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В данном случае для прямоугольных треугольников это признак равенства по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ AB $ в $ \triangle ABH $ является гипотенузой, как и сторона $ BC $ в $ \triangle CBH $. Значит, эти стороны равны: $ AB = BC $.

Так как в треугольнике $ \triangle ABC $ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.46. Докажите, что в каждом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $, в котором боковые стороны $ AB $ и $ BC $ равны ($ AB = BC $), а $ AC $ — основание.

$ AD $ — биссектриса угла при основании $ \angle BAC $, проведенная к боковой стороне $ BC $.

$ CE $ — биссектриса угла при основании $ \angle BCA $, проведенная к боковой стороне $ AB $.

Доказать:

Что длины биссектрис равны: $ AD = CE $.

Доказательство:

Для доказательства рассмотрим треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle CEA $.

1. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $. Обозначим эти углы как $ \angle A $ и $ \angle C $ соответственно.

2. Так как $ AD $ является биссектрисой угла $ \angle BAC $, то $ \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle A $.

3. Так как $ CE $ является биссектрисой угла $ \angle BCA $, то $ \angle ECA = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} \angle C $.

4. Поскольку $ \angle A = \angle C $, то и их половины равны: $ \angle DAC = \angle ECA $.

5. Сторона $ AC $ является общей для треугольников $ \triangle ADC $ и $ \triangle CEA $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle CEA $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У них:

- $ \angle DCA = \angle EAC $ (это углы $ \angle C $ и $ \angle A $ при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $).

- $ AC $ — общая сторона.

- $ \angle DAC = \angle ECA $ (как половины равных углов при основании).

Следовательно, треугольник $ \triangle ADC $ равен треугольнику $ \triangle CEA $ ($ \triangle ADC \cong \triangle CEA $).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. В треугольнике $ \triangle ADC $ сторона $ AD $ лежит напротив угла $ \angle DCA $. В треугольнике $ \triangle CEA $ сторона $ CE $ лежит напротив угла $ \angle EAC $.

Так как $ \angle DCA = \angle EAC $, то и противолежащие им стороны $ AD $ и $ CE $ равны.

Таким образом, $ AD = CE $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В любом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные из вершин углов при основании к боковым сторонам, равны.

2.47. Докажите, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны – больший угол.

Данная задача состоит из двух частей: прямого и обратного утверждения. Докажем оба.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $B$ больше угла $C$, то есть $\angle B > \angle C$. Докажем, что сторона $AC$, лежащая против угла $B$, больше стороны $AB$, лежащей против угла $C$. То есть, нам нужно доказать, что $AC > AB$.

Отложим от луча $BC$ угол $DBC$, который равен углу $C$, таким образом, чтобы луч $BD$ находился внутри угла $ABC$. Так как по условию $\angle B > \angle C$, такой луч существует, и он пересечет сторону $AC$ в некоторой точке $D$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. По построению, в этом треугольнике два угла равны: $\angle DBC = \angle C$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, его боковые стороны равны: $BD = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме о неравенстве треугольника, сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей стороны. Применительно к нашему случаю, это означает, что $AD + BD > AB$.

В полученном неравенстве заменим отрезок $BD$ на равный ему отрезок $DC$, что мы можем сделать на основании предыдущего шага. Получаем: $AD + DC > AB$.

Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$, то есть $AD + DC = AC$.

Подставив это в наше неравенство, получаем итоговый результат: $AC > AB$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Против большей стороны — больший угол

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. Докажем, что угол $B$, лежащий напротив стороны $AC$, больше угла $C$, лежащего напротив стороны $AB$. То есть, нам нужно доказать, что $\angle B > \angle C$.

На большей стороне $AC$ отложим от вершины $A$ отрезок $AD$, равный по длине меньшей стороне $AB$. Так как $AC > AB$, точка $D$ будет лежать между точками $A$ и $C$.

Соединим точки $B$ и $D$. В образовавшемся треугольнике $ABD$ стороны $AB$ и $AD$ равны по построению ($AB = AD$). Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным, а значит, углы при его основании $BD$ равны: $\angle ABD = \angle ADB$.

Угол $\angle ADB$ является внешним для треугольника $BDC$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним: $\angle ADB = \angle C + \angle DBC$.

Поскольку $\angle DBC$ — это угол треугольника, его градусная мера положительна ($\angle DBC > 0$). Отсюда следует, что $\angle ADB > \angle C$.

Так как мы ранее установили, что $\angle ABD = \angle ADB$, то мы можем утверждать, что и $\angle ABD > \angle C$.

Весь угол $B$ (то есть $\angle ABC$) состоит из суммы двух углов: $\angle B = \angle ABD + \angle DBC$. Поскольку $\angle DBC > 0$, очевидно, что $\angle B > \angle ABD$.

Теперь мы имеем два неравенства: $\angle B > \angle ABD$ и $\angle ABD > \angle C$. По свойству транзитивности неравенств из этого следует, что $\angle B > \angle C$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

2.48. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и CB отмечены соответственно точки E и F так, что $AE = CF$. Докажите, что:

1) $\triangle BDE = \triangle BDF$;

2) $\triangle ADE = \triangle CDF$.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = CB$, а углы при основании также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

$BD$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По свойству медианы в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию, она также является биссектрисой и высотой.

Из этого следует:

1. $D$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AD = DC$.

2. $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$.

Также по условию на сторонах $AB$ и $CB$ выбраны точки $E$ и $F$ таким образом, что $AE = CF$.

1) Докажите, что $ \Delta BDE = \Delta BDF $

Рассмотрим треугольники $\Delta BDE$ и $\Delta BDF$. Докажем их равенство по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

• Сторона $BD$ — общая для обоих треугольников.

• Угол $\angle EBD$ равен углу $\angle FBD$ (то есть $\angle ABD = \angle CBD$), так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

• Сравним стороны $BE$ и $BF$. Сторона $BE$ является частью стороны $AB$, а $BF$ — частью $CB$. Мы можем записать:

$BE = AB - AE$

$BF = CB - CF$

Так как по условию $AB = CB$ и $AE = CF$, то правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и левые части: $BE = BF$.

Мы установили, что в треугольниках $\Delta BDE$ и $\Delta BDF$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($BE = BF$, $\angle EBD = \angle FBD$, $BD$ — общая).

Следовательно, $\Delta BDE = \Delta BDF$ по первому признаку равенства треугольников (СУС). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta BDE = \Delta BDF$ доказано.

2) Докажите, что $ \Delta ADE = \Delta CDF $

Рассмотрим треугольники $\Delta ADE$ и $\Delta CDF$. Докажем их равенство также по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

• Сторона $AD = CD$, так как $D$ — середина основания $AC$ (поскольку $BD$ — медиана).

• Сторона $AE = CF$ по условию задачи.

• Угол $\angle DAE$ равен углу $\angle DCF$ (то есть $\angle BAC = \angle BCA$), так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$.

Мы установили, что в треугольниках $\Delta ADE$ и $\Delta CDF$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AE = CF$, $\angle DAE = \angle DCF$, $AD = CD$).

Следовательно, $\Delta ADE = \Delta CDF$ по первому признаку равенства треугольников (СУС). Что и требовалось доказать.

Альтернативный способ доказательства (используя результат пункта 1):

Из доказанного в пункте 1 равенства $\Delta BDE = \Delta BDF$ следует, что соответствующие стороны этих треугольников равны, то есть $DE = DF$. Теперь рассмотрим $\Delta ADE$ и $\Delta CDF$ и применим третий признак равенства треугольников (по трём сторонам):

• $AD = CD$ (так как $BD$ - медиана).

• $AE = CF$ (по условию).

• $DE = DF$ (из равенства $\Delta BDE = \Delta BDF$).

Так как все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\Delta ADE = \Delta CDF$ по третьему признаку (ССС).

Ответ: Равенство треугольников $\Delta ADE = \Delta CDF$ доказано.

2.49. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если равны их основания и высоты, проведенные к основаниям.

Дано:

Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

В $\triangle ABC$ боковые стороны $AB = BC$. $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$.

В $\triangle A_1B_1C_1$ боковые стороны $A_1B_1 = B_1C_1$. $B_1H_1$ — высота, проведенная к основанию $A_1C_1$.

По условию задачи, основания треугольников равны ($AC = A_1C_1$) и высоты, проведенные к основаниям, также равны ($BH = B_1H_1$).

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $BH$ — высота к основанию $AC$, она также является медианой. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $AC$, и, следовательно, $AH = HC = \frac{1}{2} AC$. Кроме того, по определению высоты, $BH \perp AC$, поэтому $\triangle ABH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle BHA = 90^\circ$.

2. Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$. Высота $B_1H_1$ к основанию $A_1C_1$ является и медианой. Поэтому $H_1$ — середина основания $A_1C_1$, и $A_1H_1 = H_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$. Треугольник $\triangle A_1B_1H_1$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

3. Сравним катеты $AH$ и $A_1H_1$. По условию нам дано, что $AC = A_1C_1$. Так как $AH = \frac{1}{2} AC$ и $A_1H_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$, то отсюда следует, что $AH = A_1H_1$.

4. Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. В этих треугольниках:

- катет $AH$ равен катету $A_1H_1$ (доказано в п. 3),

- катет $BH$ равен катету $B_1H_1$ (по условию задачи).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по двум катетам (что соответствует первому признаку равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих элементов, в частности, их гипотенуз: $AB = A_1B_1$.

6. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам):

- $AC = A_1C_1$ (по условию).

- $AB = A_1B_1$ (доказано в п. 5).

- $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$ (по определению равнобедренного треугольника). Так как $AB = A_1B_1$, то и $BC = B_1C_1$.

Таким образом, все три стороны $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам $\triangle A_1B_1C_1$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство равнобедренных треугольников следует из третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам), так как из равенства их оснований и высот, проведенных к основаниям, доказывается равенство их боковых сторон.

2.50. Треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой $CC_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABC_1$ – равнобедренные.

По условию задачи дано, что треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ равны. Запишем это как $\triangle ACC_1 = \triangle BCC_1$.

Из равенства двух треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов.

Доказательство того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным

Так как $\triangle ACC_1 = \triangle BCC_1$, то их соответствующие стороны равны. Сторона $AC$ треугольника $ACC_1$ соответствует стороне $BC$ треугольника $BCC_1$. Следовательно, их длины равны: $AC = BC$.

В треугольнике $ABC$ две стороны ($AC$ и $BC$) равны, следовательно, по определению, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Доказательство того, что треугольник $ABC_1$ является равнобедренным

Аналогично, из равенства $\triangle ACC_1 = \triangle BCC_1$ следует равенство и двух других соответствующих сторон: $AC_1$ и $BC_1$. Следовательно, $AC_1 = BC_1$.

В треугольнике $ABC_1$ две стороны ($AC_1$ и $BC_1$) равны, следовательно, по определению, треугольник $ABC_1$ также является равнобедренным.

Условие о том, что вершины A и B лежат по разные стороны от прямой $CC_1$, определяет взаимное расположение фигур и не влияет на логику доказательства, которая основывается на равенстве сторон.

Ответ: Из условия равенства треугольников $\triangle ACC_1 = \triangle BCC_1$ напрямую следует равенство их соответствующих сторон: $AC = BC$ и $AC_1 = BC_1$. Поскольку в треугольнике $ABC$ есть две равные стороны, он является равнобедренным. Аналогично, поскольку в треугольнике $ABC_1$ есть две равные стороны, он также является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

2.51* Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Сформулируем утверждение, которое требуется доказать.

Дано:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. В них проведены медианы $AM$ и $A_1M_1$ соответственно.

Известно, что:

1. Медианы равны: $AM = A_1M_1$.

2. Углы, на которые медиана $AM$ делит угол $\angle BAC$, соответственно равны углам, на которые медиана $A_1M_1$ делит угол $\angle B_1A_1C_1$:

- $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$

- $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Для доказательства используем метод дополнительного построения. В треугольнике $\triangle ABC$ продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершиной $B$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $AD$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

3. Из свойств параллелограмма $ABDC$ следует, что его противолежащие стороны параллельны и равны. В частности, $AC \parallel BD$ и $AC = BD$.

4. Так как прямые $AC$ и $BD$ параллельны, то при пересечении их секущей $AD$ внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle CAD = \angle BDA$.

5. Проведем аналогичное построение для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Продлим медиану $A_1M_1$ за точку $M_1$ до точки $D_1$ так, что $A_1M_1 = M_1D_1$. Соединим $D_1$ с $B_1$. Четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ также будет параллелограммом. Из этого следует, что $A_1C_1 = B_1D_1$ и $\angle C_1A_1D_1 = \angle B_1D_1A_1$.

6. Теперь сравним полученные вспомогательные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Для удобства введем обозначения: пусть $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1 = \alpha$ и $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1 = \beta$.

- Сторона $AD = AM + MD = 2AM$. Сторона $A_1D_1 = A_1M_1 + M_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то и $AD = A_1D_1$.

- Угол $\angle BAD$ совпадает с углом $\angle BAM$, так как точки $A, M, D$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle BAD = \alpha$. Аналогично, $\angle B_1A_1D_1 = \alpha$. Следовательно, $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$.

- Из пункта 4 мы знаем, что $\angle BDA = \angle CAD$. Угол $\angle CAD$ совпадает с $\angle CAM$, поэтому $\angle BDA = \beta$. Аналогично, $\angle B_1D_1A_1 = \beta$. Следовательно, $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$.

7. Мы установили, что в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны: $AD = A_1D_1$, $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$ и $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

8. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$ и $BD = B_1D_1$.

9. Из свойств параллелограммов (пункты 3 и 5) мы знаем, что $AC = BD$ и $A_1C_1 = B_1D_1$. Сопоставляя это с результатом $BD = B_1D_1$, получаем, что $AC = A_1C_1$.

10. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы показали, что у них:

- Сторона $AB = A_1B_1$ (из п. 8).

- Сторона $AC = A_1C_1$ (из п. 9).

- Угол между этими сторонами $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = \alpha + \beta$. Аналогично, $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1A_1M_1 + \angle C_1A_1M_1 = \alpha + \beta$. Значит, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

11. Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Утверждение доказано.

Ответ: Равенство треугольников доказано с помощью дополнительного построения (удвоения медианы), которое сводит задачу к доказательству равенства вспомогательных треугольников по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства вспомогательных треугольников следует равенство соответствующих сторон исходных треугольников, что позволяет доказать их равенство по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).