Номер 2.45, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Докажите, что треугольник – равнобедренный, если:

1) его медиана является и высотой;

2) его высота является и биссектрисой.

1) его медиана является и высотой;

Пусть в треугольнике $ \triangle ABC $ отрезок $ BM $, проведенный из вершины $ B $ к стороне $ AC $, является одновременно и медианой, и высотой.

Нам нужно доказать, что $ \triangle ABC $ — равнобедренный, то есть что $ AB = BC $.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $ BM $ делит исходный треугольник: $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $.

• Поскольку $ BM $ — медиана, она делит сторону $ AC $ на два равных отрезка: $ AM = MC $.
• Поскольку $ BM $ — высота, она перпендикулярна стороне $ AC $, а значит, углы при основании высоты прямые: $ \angle BMA = \angle BMC = 90^\circ $.
• Сторона $ BM $ является общей для обоих треугольников.

Сравним треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $. У них:

1. $ AM = MC $ (по свойству медианы).
2. $ \angle BMA = \angle BMC $ (по свойству высоты).
3. $ BM $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle CBM $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Сторона $ AB $ в $ \triangle ABM $ лежит напротив угла $ \angle BMA $, а сторона $ BC $ в $ \triangle CBM $ лежит напротив равного ему угла $ \angle BMC $. Значит, эти стороны равны: $ AB = BC $.

Так как в треугольнике $ \triangle ABC $ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) его высота является и биссектрисой.

Пусть в треугольнике $ \triangle ABC $ отрезок $ BH $, проведенный из вершины $ B $ к стороне $ AC $, является одновременно и высотой, и биссектрисой угла $ \angle ABC $.

Нам нужно доказать, что $ \triangle ABC $ — равнобедренный, то есть что $ AB = BC $.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $ BH $ делит исходный треугольник: $ \triangle ABH $ и $ \triangle CBH $.

• Поскольку $ BH $ — высота, она перпендикулярна стороне $ AC $: $ \angle BHA = \angle BHC = 90^\circ $.
• Поскольку $ BH $ — биссектриса, она делит угол $ \angle ABC $ пополам: $ \angle ABH = \angle CBH $.
• Сторона $ BH $ является общей для обоих треугольников.

Сравним треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle CBH $. У них:

1. $ \angle ABH = \angle CBH $ (по свойству биссектрисы).
2. $ BH $ — общая сторона.
3. $ \angle BHA = \angle BHC $ (по свойству высоты).

Следовательно, $ \triangle ABH = \triangle CBH $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В данном случае для прямоугольных треугольников это признак равенства по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ AB $ в $ \triangle ABH $ является гипотенузой, как и сторона $ BC $ в $ \triangle CBH $. Значит, эти стороны равны: $ AB = BC $.

Так как в треугольнике $ \triangle ABC $ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.